平面向量題型和高考走勢

● (杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

1 考點回顧

平面向量是高中數學的三大數學工具之一，同時具有代數的運算性和幾何的直觀性.向量是數形結合的典范，是高考命題的基本素材和主要背景之一，也是近幾年高考的熱點.準確把握平面向量的概念與運算，正確理解向量的幾何意義，充分發揮圖形的直觀作用，這樣才能較好地解決這類問題.常見的考點有：

(1)平面向量的基本概念、向量的加法與減法；

(2)共線向量的充要條件、向量的基本定理和坐標表示；

(3)實數與向量的積、向量的數量積與運算律；

(4)向量與平面幾何、向量和其他問題的整合等.

重點是：向量的幾何意義、共線向量、向量基本定理、向量的數量積、坐標運算、向量的平行和垂直、夾角、模長.

2 命題趨勢

縱觀近幾年的考題，強調了試題的幾何背景，特別是浙江省的高考試題，無不凸現了試題的幾何背景，當然命題者也兼顧了向量的代數性質，因此解題的主要手段從以傳統的計算為主轉變為以挖掘問題的幾何背景為主.

3 典例剖析

題型1以向量的基本概念為載體

這類問題主要考查學生對向量基本概念的理解，以簡單概念辨析和簡單計算為主.

例1已知a,b的夾角為120°，|a|=1，|b|=3，則|5a-b|=________．

(2008年江蘇省數學高考試題)

分析關于向量模長的計算一般可利用公式|a|2=a·a解決.

解因為

|5a-b|= (5a-b)2=

25a2-10a·b+b2=

49,

所以

|5a-b|=7.

評注本題主要考查向量的線性運算，其難點是向量模長的計算，解決這類問題的基本方法是先求模長的平方.

題型2以向量的基本運算為載體

這類問題往往是代數問題，但多與不等式、幾何圖形相結合，代數形式的背后往往隱藏著美麗的幾何圖形.

例2已知a，b是平面內2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是

( )

(2008年浙江省數學高考試題)

分析第1種思路是把向量坐標化；第2種思路是轉化式子(a-c)·(b-c)=0；第3種思路是挖掘式子(a-c)·(b-c)=0的幾何意義.

解法1不妨設a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y).由(a-c)·(b-c)=0，得

(1-x,1-y)·(-x,1-y)=0，

即

故

解法2因為|a|=|b|=1，a·b=0,所以展開(a-c)·(b-c)=0,得

|c|2=c·(a+b)=|c|·|a+b|cosθ，

即

圖1

連結AB，以AB為直徑作半圓M，在半圓M上的任何一點C2,都滿足∠AC2B=90°，也即符合條件

(a-c2)·(b-c2)=0.

再連結MC2，那么

|OC2|≤ |OM|+|MC2|=

|OC1|，

即

該解法既充分利用了向量的特點，又著意發揮了幾何的優勢，真是向量幾何，珠聯璧合啊！

題型3以向量基本定理為載體

分析理解向量基本定理中參數λ，μ的含義，其實際意義就是向量在斜坐標中的坐標.

圖2 圖3

在Rt△B1OC中，因為∠OCB1=30°，所以

于是

即

λ+μ=6.

評注本小題主要考查向量的基本定理，理解向量基本定理中λ，μ的幾何意義.本題的解答充分利用原圖中既有直角，又有30°角的特征，從而構造含30°角的直角三角形.

題型4以平面幾何問題為載體

這類問題一般有2種解題思路:一種是利用三點共線的充要條件列方程；另一種是直接利用平面幾何知識解決.

由向量相等的定義知

消去λ得

m+n=2.

圖4 圖5

求解這類問題的關鍵是利用好圖形中的三點共線.本題也可以利用平面幾何知識求解：

即

因為△MOB∽△MPA，所以

同理可得

又由△CON∽△ANP，得

于是

1-m=n-1，

解得

m+n=2.

本題的條件比較分散，解題的關鍵是作平行線AP，通過2組相似三角形的聯接與過渡，巧妙地解決了問題.

題型5以問題的幾何背景為載體

自浙江省自主命題以來，向量問題常考常新.雖然問題年年翻新，但都富有內涵——深刻的幾何背景，每一個代數形式的背后都有美妙的幾何圖形，解決這類問題的最佳辦法是探尋問題的代數結構背后的幾何結構.

例5(1)已知a≠e且|e|=1，若對任何實數t均有|a-te|≥|a-e|成立，則

( )

A．a·e=0 B．a⊥(a-e)

C．c⊥(a-e) D．(a-e)⊥(a+e)

(2005年浙江省數學高考試題)

(2)已知a，b是2個相互垂直的單位向量，而|c|=13，c·a=13，c·b=4,則對于任意實數t1，t2，|c-t1a-t2b|的最小值是

( )

A．5 B．7 C．12 D．13

(2005年浙江省高中數學競賽試題)

(3)若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|，則

( )

A．|2a|>|2a+b| B．|2a|<|2a+b|

C．|2b|>|a+2b| D．|2b|<|a+2b|

(2007年浙江省數學高考試題)

解(1)構造圖6可以判斷當且僅當e⊥(a-e)時，有|a-te|≥|a-e|.

圖6 圖7

(3)背景1向量加法的平行四邊形法則

解法1因為|a+b|=|b|，即AC=AB，所以四邊形ABCD為菱形，如圖8，因此AO

即

|a+2b|<|2b|.

解法2如圖9，△ADC是直角三角形，因此AD

圖8 圖9

背景2三角形中線向量的表達式

即

|a+2b|<2|b|.

背景3三角形不等式

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

解法4|a+2b|≤ |(a+b)+b|≤

|(a+b)|+|b|=2|b|.

圖10 圖11

背景4向量垂直的充要條件

已知a,b為非零向量，求證：

a⊥b?(a+b)=(a-b).

解法5由|a+b|=|b|,得

|2(a+b)|=|2b|，

因此

|(a+2b)+a|=|(a+2b)-a|,

即

2a+2b⊥a，

故可構造如圖11所示的矩形，結論顯然成立.

評注本題主要考查學生對向量的代數和幾何結構之間的轉化，如何充分挖掘向量的代數運算和幾何性質之間的關系是掌握向量數學本質的關鍵.

題型6以平面直角坐標系為載體

(2009年安徽省數學高考試題)

圖12 圖13

即

解得

評注盡管本題的解法很多，但這個解法直觀，容易被大多數學生接受和理解.

精題集粹

1．連續擲骰子2次分別得點數m，n,則a=(m,n)與b=(-1,1)的夾角θ>90°的概率是

( )

( )

( )

A．反向平行 B．同向平行

C．互相垂直 D．既不平行也不垂直

4．已知平面向量a=(2,4)，b=(-1,2)．若c=a-(a·b)b，則|c|=________.

5．已知點A，B，C不共線，且有

圖14

(1)求證：(a-b)⊥(a+b)；

參考答案

1．D 2．B 3.A

8.(1)(a-b)·(a+b)=a2-b2=0