“3個二次”的命題趨勢、題型與策略

● (學軍中學 浙江杭州 310012)

在高中數學中，“3個二次”是以二次函數為中心，運用二次函數的圖像、性質把其余“2個二次”串聯起來，構成知識系統的網絡結構，而且這“3個二次”也是研究其他內容的基礎工具.高考對“3個二次”的考查往往滲透在其他知識的考查之中，并且大都出現在解答題之中，特別是與不等式、導數以及解析幾何等高中數學的主干知識的結合成為其一大亮點.其考查的重點是二次函數的圖像與最值、一元二次方程以及根的分布等內容.在2009年全國新課程高考數學的理科試卷中，每套均含有有關“3個二次”的試題.

1 命題趨勢

二次函數與二次方程、二次不等式的交匯自然貼切、一脈相承，縱觀歷年的高考試題，以“3個二次”為紐帶編制而成的綜合題立意新穎、靈活性強，對各種能力和思想方法都提出了很高的要求.2010年高考命題的趨勢主要表現在：(1)與二次函數的圖像、性質有關的選擇題、填空題；(2)以二次方程的根的分布、在限定區間上的二次函數的最值、含參數的二次不等式恒成立、二次不等式的解法、二次方程的解法為基點與其他知識的交匯，尤其是與三角函數、導數、解析幾何的交匯問題.

2 題型與策略

題型1二次函數的性質問題

解決有關二次函數的性質問題，關鍵是熟悉二次函數的圖像、定義域、值域、對稱性、單調性、奇偶性等.

( )

A.{1,2} B.{1,4}

C.{1,2,3,4} D.{1,4,16,64}

(2009年福建省數學高考理科試題)

分析利用換元法，設f(x)=y，原方程化為my2+ny+p=0,根據此一元二次方程的根的情況與二次函數f(x)的圖像的對稱性進行分析.

題型2限定區間上的二次函數最值(值域)問題

求限定區間上的二次函數的最值(值域)問題，要看開口方向以及對稱軸在該區間的相對位置，即對稱軸在區間的左側、右側、區間內，因而引起分類討論.二次函數在閉區間上必存在最大值和最小值，它們分別在區間端點或頂點處取得.

例2已知二次函數f(x)=-x2+2x，是否存在實數m,n(m

分析這是限定區間上的二次函數的值域(最值)問題，按常見思路需要分類討論;若根據二次函數f(x)在[m,n]上的值域是二次函數f(x)在R上的值域的子集，則可以避免分類討論.

解假設滿足題設條件的m,n存在.因為

f(x)=-(x-1)2+1≤1,

所以

[4m,4n]?(-∞,1]，

即

解得

又m

題型3一元二次方程的根的分布問題

解決這類問題有2種基本策略：一是利用韋達定理，如一元二次方程ax2+bx+c=0在(1,+∞)上有2個不等的實根,等價于

二是利用二次函數的圖像，譬如一元二次方程ax2+bc+c=0(a>0)在(1,+∞)上有2個不等的實根,等價于

其中f(x)=ax2+bx+c.

例3已知函數f(x)=|x2-1|+x2+kx.

(1)若k=2，求方程f(x)=0的解;

分析根據絕對值的意義，將含有絕對值的方程化為一元二次方程或一元一次方程.

解(1)當x2-1≥0,即x≤-1或x≥1時，2x2+2x-1=0,解得

因為方程1+kx=0在(0,1]上至多有1個實根，方程2x2+kx-1=0在(1,2)上至多有1個實根，結合已知，可得方程f(x)=0在(0,2)上的2個解x1,x2中的1個解在(0,1]上，1個解在(1,2)上，不妨設x1∈(0,1],x2∈(1,2).由f(x)=0,得

作出函數

圖1

的圖像，如圖1所示.因此

且

故

評注在第(2)小題中，利用了“若ac<0，則一元二次方程ax2+bx+c=0有2個異號的實根”，從而確定x1,x2所在的范圍.

題型4含參數一元二次不等式恒成立問題

含參數的一元二次不等式在限定區間上恒成立的問題可以轉化為在限定區間上的二次函數的最值問題或一元二次方程的根的分布問題,有如下的結論：

設f(x)=ax2+bx+c(a>0)，則

(1)求函數f(x)的極大值；

(2)若當x∈[1-a,1+a]時，恒有-a≤f′(x)≤a成立(其中f′(x)是函數f(x)的導函數)，試確定實數a的取值范圍.

分析第(2)小題就是含參數的一元二次不等式在x∈[1-a,1+a]上恒成立，求參數的范圍問題.

解(1)f′(x)= -x2+4ax-3a2=

-(x-a)(x-3a).

令f′(x)=0，解得

x=a或x=3a.

當x∈(-∞,a)或x∈(3a+∞)時,f′(x)<0;當x∈(a,3a)時，f′(x)>0.因此f(x)在(-∞,a)上單調遞減，在(a,3a)上單調遞增，在(3a,+∞)上單調遞減，于是函數f(x)的極大值為f(3a)=1.

(2)由已知得,-a≤-x2+4ax-3a2≤a在x∈[1-a,1+a]時恒成立.

①由-x2+4ax-3a2≥-a,可得x2-4ax+3a2-a≤0在x∈[1-a,1+a]時恒成立.設g(x)=x2-4ax+3a2-a,則

即

解得

②由-x2+4ax-3a2≤a,得x2-4ax+3a2+a≥0在x∈[1-a,1+a]時恒成立.因為0

Δ=16a2-4(3a2+a)=4a(a-1)<0，

因此x2-4ax+3a2+a≥0在x∈[1-a,1+a]時恒成立.

評注第(2)小題在處理x2-4ax+3a2+a≥0在x∈[1-a,1+a]時恒成立時，注意到Δ<0，從而簡化了運算.

題型5含參數的一元二次不等式有解問題

根據特稱命題的否定是全稱命題，將含參數的一元二次不等式有實數解的問題轉化為含參數的一元二次不等式恒成立的問題.

例5已知函數f(x)=x2,g(x)=x-1．若存在x∈R,使得f(x)

分析含參數的一元二次不等式f(x)

解先求使不等式f(x)≥b·g(x)，即x2-bx+b≥0對任意x∈R都成立時實數b的取值范圍.由Δ=b2-4b≤0,解得

0≤b≤4.

因此，所求的實數b的取值范圍是b<0或b>4.

評注解決本例也可直接利用二次函數的圖像，得Δ=b2-4b>0,解得b<0或b>4.

精題集粹

1．已知二次函數f(x)=x2+2(p-2)x+p，若在區間[0,1]內至少存在1個實數c，使得f(c)>0，則實數p的取值范圍是

( )

A．(1,4) B．(1，+∞)

C．(0，+∞) D．(0，1)

2．已知方程ax2+bx-1=0(a,b∈R且a>0)有2個不等的實根，其中1個根在區間(1,2)內，則a-b的取值范圍為

( )

A．(-1,+∞) B．(-∞,-1)

C．(-∞,1) D．(-1，1)

3．已知函數f(x)=2x2+(4-m)x+4-m，g(x)=mx,若對于任一實數x，f(x)與g(x)至少有1個為正數，則實數m的取值范圍是

( )

A．[-4,4] B．(-4，4)

C．(-∞,4) D．(-∞,-4)

4．已知關于x的方程4x-2x+1+3m-1=0有2個實根，則m的取值范圍________.

5．已知3x2+2y2-6x=0,則z=x2+y2的最大值為________.

6．關于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0，給出下列4個命題：

①存在實數k，使得方程恰有2個不同的實根；②存在實數k，使得方程恰有4個不同的實根；③存在實數k，使得方程恰有5個不同的實根；④存在實數k，使得方程恰有8個不同的實根.

其中真命題的是________．

(2)若函數f(x)的遞增區間為[s,t]，求|s-t|的取值范圍.

8．已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定義在R上的函數，其圖像交x軸于點A，B，C.若點B的坐標為(2，0)，且f(x)在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性.

(2)在函數f(x)的圖像上是否存在一點M(x0,y0)，使得f(x)在點M的切線斜率為3b？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)求|AC|的取值范圍.

參考答案

1．C 2．B 3．C

(2)|s-t|的取值范圍為[2,4).