2010年數學高考模擬卷(五)

一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的4個選項中，只有1項是符合題目要求的.

( )

圖1 圖2

2．下列命題中，m,n表示2條不同的直線，α,β,γ表示3個不同的平面.①若m⊥α，n∥α,則m⊥n；②若a⊥γ，β⊥γ，則α∥β；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α∥β，β∥γ,m⊥α，則m⊥γ.正確的命題是

( )

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

3．已知函數f(x)=sinπx的圖像如圖1所示，則圖2所示的函數圖像對應的函數解析式可以是

( )

圖3

4．小球A在如圖3所示的通道由上到下隨機地滑動，最后在下底面的某個出口落出，則一次投放小球，從“出口3”落出的概率為

( )

( )

圖4

6．下列命題中是假命題的是

( )

A.存在m∈R，使得f(x)=(m-1)·xm2-4m+3是冪函數，且在(0，+∞)上遞減

B.任意a>0,函數f(x)=ln2x+lnx-a有零點

C.存在α,β∈R,使得cos(α+β)=cosα+sinβ

D.任意φ∈R,函數f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函數

7．長為10 cm的線段AB的2個端點A,B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上滑動，設坐標軸的單位長度是1 cm.若端點B從點(0,8)處以1 cm/s的速度向下滑動，則端點A在t=2 s時滑動的瞬時速度是

( )

( )

( )

10．曲線x2+y2-ay=0與ax2+bxy+x=0有且只有3個不同的公共點，那么

( )

A.(a4+4ab+4)(ab+1)=0 B.(a4-4ab-4)(ab+1)=0

C.(a4+4ab+4)(ab-1)=0 D.(a4-4ab-4)(ab-1)=0

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．

11．設集合M={m|m=5n+2n,n∈N*，且m<100}，則集合M中所有元素的和為________.

12．棱長為1的正方體和它的外接球與一個平面相交得到的截面是一個圓及它的內接正三角形，那么球心到截面的距離等于________.

圖5

13．設等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn.若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數列，則q=________.

14．一個幾何體按比例繪制的三視圖如圖5所示(單位：m),則該幾何體的體積為________m3．

圖6

16．已知{an}為等差數列，且an≠0，公差d≠0.現有下列3個等式：

根據上面的幾個等式，試歸納出更一般的結論：________.

三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

圖7

18．在△ABC中，內角A,B,C所對應的邊長分別是a,b,c.

(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A，試判斷△ABC的形狀.

(1)在圖7中，第一、第二判斷框應分別填寫什么條件？

(2)求p的值；

(3)設ζ表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量ζ的分布列和數學期望Eζ．

圖8

20．如圖8，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分別是PC，CD的中點．

(1)證明：CD⊥平面BEF；

(2)設PA=k·AB，且二面角E-BD-C為60°，求k的值.

21．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負半軸上，過其上一點P(x0,y0)(x0≠0)的切線方程為y-y0=2ax0(x-x0)(a為常數).

(1)求拋物線方程.

(3)在第(2)小題的條件下，當λ=1,k1<0時，若點P的坐標為(1，-1)，求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍.

22．(本小題滿分15分)已知函數f(x)=ln(ax+1)+x3-x2-ax．

(2)若y=f(x)在[1,+∞)上為增函數，求實數a的取值范圍；

IB選修參考題

1.坐標系與參數方程模塊:

(1)將極坐標方程化為普通方程，并選擇恰當的參數寫出它的參數方程；

(2)若點P(x,y)在該圓上，求x+y的最大值和最小值．

2.不等式選講模塊:

已知a,b,c為正實數，且ab+bc+ca=1.

(1)求a+b+c-abc的最小值；

參考答案

1．C 2．C 3．B 4．D 5．B 6．D 7．D

8．B 9．D 10．B

17．1∶(-6)∶5∶(-8)

18．解(1)由余弦定理及已知條件得

a2+b2-ab=4.

得ab=4．聯立方程組

解得

a=2,b=2．

(2)由題意得

sin(B+A)+sin(B-A)=sin2A，

展開整理得

sinBcosA=sinAcosA.

綜上所述，△ABC為等腰或直角三角形.

19．解(1)程序框圖中的第1個條件框應填M=2，第2個應填n=6．

注意：答案不唯一．

譬如：第1個條件框填M>1，第2個條件框填n>5，或者第一、第二條件互換．

(2)依題意，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第2局結束時比賽結束,有

解得

(3)依題意知，ζ的所有可能值為2，4，6．

若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得1分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有

因此隨機變量ζ的分布列如表1所示.

表1 ζ的分布列

故

圖9

20．(1)證明以點A為原點，建立如圖9所示的空間直角坐標系A-xyz,則B(0，1，0)，C(-2，2，0)，D(-2，0，0).設PA=k,則

則

于是CD⊥平面BEF.

得

得

解得

21．解(1)由題意可設拋物線的方程為

x2=-2py(p>0).

由過點P(x0,y0)(x0≠0)的切線方程為

y-y0=2ax0(x-x0),

得

因此

故拋物線的方程為y=ax2(a<0).

(2)直線PA的方程為

y-y0=k1(x-x0),

聯立方程

得

ax2-k1x+k1x0-y0=0,

于是

同理可得

xM-xB=λ(xA-xM),

即

故線段PM的中點在y軸上.

(3)由λ=1,P(1,-1),可知a=-1，因此

A(-k1-1,-(k1+1)2),B(k1-1,-(k1-1)2),

因為∠PAB為鈍角，且P,A,B不共線,所以

即

得

又k1<0,所以

解得

22．解(1)由題意得

(2)因為f(x)在[1,+∞)上為增函數，所以

在[1,+∞)上恒成立.

若a=0，則f′(x)=x(3x-2)，因此f(x)在[1,+∞)上為增函數成立；

若a≠0，由ax+1>0對x>1恒成立,知a>0,則3ax2+(3-2a)x-(a2+2)≥0對x∈[1,+∞)上恒成立.令

g(x)=3ax2+(3-2a)x-(a2+2)，

從而g(x)在[1,+∞)上為增函數.故只要g(1)≥0即可，即

-a2+a+1≥0,

解得

又因為a>0，所以

(3)若a=-1時，由方程

可得

即b=xlnx-x(1-x)2+x(1-x)=xlnx+x2-x3

在x>0上有解,即問題可轉化為求函數g(x)=xlnx+x2-x3的值域．

令h(x)=lnx+x-x2，由

且x>0,可得當00，從而h(x)在(0,1)上為增函數；當x>1時，h′(x)<0，從而h(x)在(1，+∞)上為減函數.因此

h(x)≤h(1)=0，

而h(x)可以無窮小,故b的取值范圍為(-∞,0].

IB選修參考答案

1．解(1)普通方程為

x2+y2-4x-4y+6=0,

即

(x-2)2+(y-2)2=2,

2．(1)解因為(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)=3.又a,b,c>0，所以

又由a,b,c>0，可得

所以