圓錐曲線切線方程的探索

● (杭州外國語學校 浙江杭州 310023)

縱觀近幾年的高考試卷，發(fā)現(xiàn)圓錐曲線以切線為背景的問題經(jīng)常出現(xiàn)在各地的高考試題中.這類問題往往因為運算量大而且計算十分復雜，最終被考生因為時間不夠而放棄.為此,本文結(jié)合高考實例探索圓錐曲線切線方程的求法,以供參考.

1 利用判別式求切線

用判別式求切線是常規(guī)的方法，即把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，通過消元得到一元二次方程，然后用判別式求解.但這種方法往往運算量較大.

圖1

(2006年浙江省數(shù)學高考試題)

分析因為直線和橢圓相切，所以直線和橢圓聯(lián)立，通過判別式來解決.

于是聯(lián)立方程組

整理得

即

x2-2x+2-2b2=0.

又因為直線AB和橢圓相切，所以

Δ=4-4(2-2b2)=0，

解得

2 利用導數(shù)求切線

導數(shù)進入新教材之后，給直線和圓錐曲線的相切注入了生機和活力，開辟了解題新途徑，這樣可以避開聯(lián)立方程組的繁瑣運算.

(1)求橢圓C1的方程.

(2)設(shè)點P在拋物線C2：y=x2+h(h∈R)上，C2在點P處的切線與C1交于點M,N．當線段AP中點與MN中點的橫坐標相等時，求h的最小值．

(2009年浙江省數(shù)學高考試題)

解(1)由題意得

解得

a=2,b=1，

4x2+(2tx-t2+h)2-4=0，

即 4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.

因為直線MN與橢圓C1有2個不同的交點，所以

Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.

設(shè)線段MN中點的橫坐標是x3，則

設(shè)線段PA中點的橫坐標是x4，則

由題意得x3=x4，即

t2+(1+h)t+1=0，

其中

Δ2=(1+h)2-4≥0,

解得

h≥1或h≤-3.

當h≤-3時，有

h+2<0，4-h2<0,

不等式

Δt=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0

不成立,從而h≥1.

當h=1時,代入方程

t2+(1+h)t+1=0

解得t=-1.將h=1,t=-1代入不等式

Δt=16[-t2+2(h+2)t2-h2+4]>0

成立.因此h的最小值為1．

3 利用公式求切線

利用隱函數(shù)求導可以得到圓錐曲線在點P處的切線方程,有以下結(jié)論：

結(jié)論3過拋物線y2=2px上一點P(x0,y0)的切線方程為y0y=p(x0+x).

(2006年全國數(shù)學高考試題Ⅰ)

根據(jù)題意設(shè)A(x,0)，B(0,y),P(x0,y0),則M(x,y),曲線C在點P處的切線方程為

即

得

又因為點P在曲線C上，所以

因為

0

則

x>1,y>2,

所以點M的軌跡方程為

4 利用切點弦求切線

在近幾年的高考試題中,有很多切線問題都涉及到切點弦，利用切點弦的知識可以輕松地解決一些試題.下面的結(jié)論在解題中經(jīng)常用到.

證明利用結(jié)論1，得經(jīng)過切點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的切線方程為

因為它們都經(jīng)過點P(x0,y0)，所以

結(jié)論6經(jīng)過拋物線y2=2px外一點P(x0,y0)引拋物線的2條切線PP1和PP2，其中P1(x1,y1),P2(x2,y2)為2個切點，則經(jīng)過P1,P2的直線方程為y0y=p(x0+x).

我們發(fā)現(xiàn)切點弦方程和圓錐曲線上一點的切線方程在形式上完全一樣，區(qū)別在于點P的位置不同.

(1)求證：點A,M,B共線.

(2)過點M作直線x-y=0的垂線，垂足為N，試求△AMN的重心G所在的曲線方程.

(2008年江西省數(shù)學高考試題)

(1)證明考慮應(yīng)用切點弦方程，如圖2,過P(x0,y0)作雙曲線x2-y2=1的2條切線PA,PB，則過點A,B的切點弦方程為

x0x-y0y=1.

圖2

又因為點P在直線x=m(y≠±m(xù),0

mx-y0y=1.

(2)解垂線AN的方程為

y-y1=-x+x1.

由

得垂足

設(shè)重心G(x,y),則

解得

即

為重心G所在的曲線方程.

精題集粹

( )

(2009年全國數(shù)學高考理科試題Ⅰ)

2．過定點P(1，4)作直線交拋物線C：y=2x2于點A,B，過點A,B分別作拋物線C的切線交于點M，則點M的軌跡方程為________.

(2)設(shè)△ABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達式，并求出S的最小值．

(2006年全國數(shù)學高考試題Ⅱ)

5．如圖3，設(shè)拋物線C：y=x2的焦點為F，動點P在直線l:x-y-2=0上運動，過點P作拋物線C的2條切線PA，PB,且與拋物線C分別相切于點A,B.

(1)求△APB的重心G的軌跡方程;

(2)證明:∠PFA=∠PFB.

圖3 圖4

6．如圖4，在平面直角坐標系xOy中，過y軸正方向上一點C(0,c)任作一直線，與拋物線y=x2相交于點A,B，一條垂直于x軸的直線分別與線段AB和直線l:y=-c交于點P,Q，

(2)若P為線段AB的中點，求證：QA為此拋物線的切線；

(3)試問第(2)小題的逆命題是否成立？說明理由.

參考答案

1.C 2.y=4x-4 3.4

4．(1)證明設(shè)M(x0,y0)，得F(0,1)，則切點弦AB的方程為

x0x=2(y0+y).

由條件知點F在直線上，因此y0=-1,從而

又直線AB的方向向量為(2,x0)，所以

(2)解由第(1)小題知,切點弦AB的方程為

x0x=2(y-1)，

即

與拋物線聯(lián)立方程組得

x2-2x0x-4=0,

于是

又由MF⊥AB，得

從而

因此當x0=0時，面積最小，最小值為4.此時點A，B被點F平分，故λ=1.

5．(1)解利用切點弦方程可得

(2)證明由題意得

由點P在拋物線外，得

同理可得

因此

∠PFA=∠PFB.

6．(1)解設(shè)過點C的直線為y=kx+c，則

x2=kx+c(c>0)，

即

x2-kx-c=0.

所以

x1x2+y1y2=2，

即

x1x2+(kx1+c)(kx2+c)=2.

于是

x1x2+k2x1x2-kc(x1+x2)+c2=2，

整理得

c2-c-2=0,

解得

c=2或c=-1(舍去).

(2)證明設(shè)過點Q的切線為

y-y1=k1(x-x1),

由題意得y′=2x，因此k1=2x1，即

所以點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線.

所以P為AB的中點.