解三角形與三角恒等變換

● (長河高級中學 浙江杭州 310052)

1 高考展望

1．1 考點回顧

(1)從近幾年的數學高考看，對三角函數的考查，一般是以1～3個客觀題和1個解答題的形式出現，以中、低檔題為主.解三角形與三角恒等變換是三角函數部分的重要內容,是每年高考必考的一個重要知識點.在涉及三角函數的求值、化簡、證明中，都需要運用三角變換，高考中凡是與三角函數有關的問題，也都以恒等變形為研究手段.只有熟悉各個公式在恒等變形中的作用，才能在解決各種問題時合理選擇公式、靈活運用公式、提高分析和解決三角問題的能力.在全國各地的高考試題中,主要是直接給出關系式或由向量的運算關系或以三角形等為載體引出，以求值、證明、解不等式或結合不等式、函數最值等來呈現.

(2)盡管對公式的要求有所降低，有“三角函數無難題”之說，但從多年來各類檢測和高考的得分情況來看，這部分試題得分率不高，部分學生對概念公式的理解不到位，實際掌握程度低.

(3)對上述內容的考查要注意：

①三角變換問題：主要考查重要公式的靈活運用、變換能力，一般需要運用兩角和與差、二倍角公式，尤其是對公式的應用與三角函數性質的綜合考查.恒等變換的問題以轉化思想為主導，觀察差異(或角、或函數名、或運算結構)，尋求聯系(公式運用或公式的逆用、變形)，遵循原則(繁為簡、切化弦、異化同、方降次等)，實現轉化.

②三角函數的應用：以平面向量、三角形、幾何或以實際問題等為載體，通過解三角形等來考查三角恒等變形及三角函數性質應用的綜合能力.解有關三角形的問題必須熟練掌握正、余弦定理，三角函數以及與三角形面積、周長、內切圓、外接圓等知識，熟知三角形如內角和定理、邊角關系等其他隱含著的條件，通過理解這些知識、掌握各知識點間的關系并能夠運用這些知識解決一些實際問題.

1.2 命題趨勢

三角函數知識是一個傳統考點，這部分知識點歷久不衰，越考越新，需要引起教師與學生的重點關注.筆者預計在今后的高考中，仍以小而活的選擇題、填空題和小型綜合題的形式出現；屬于容易加中檔題，屬于三基內容，對學生而言，必須會做而且做對；命題的分值比重在20分左右.若出現大題,則一般放在前三大題，第一道可能性最大，屬于得分的權重章節.

三角函數式的恒等變換的知識點有誘導公式、同角的三角函數關系、和差角和倍角公式，其中的倍角公式的幾個變形“降次公式”是重中之重.凡考查三角函數的圖像性質及解三角形的題往往需要運用三角公式進行化簡、求值.注重三角化簡的通性通法：從函數名、角、運算這3個方面進行差異分析，常用的技巧有：切割化弦、異角化同角、異名化同名、高次化低次等.

解三角形問題將會以多種形式出現，主要考查正、余弦定理及利用三角公式進行恒等變形的技能與運算能力，以化簡、求值或判斷三角形形狀為主.

新課程改革重視數學的應用，2009年浙江省數學高考把應用題作為填空題來考，2010年的試卷考查實際應用題的方針不會改變，三角函數作為一個重要的數學工具，它的實際應用不可忽視.

2 典例剖析

三角函數解答題多集中在以下幾種類型.

2.1 三角函數的變形、化簡、求值問題

( )

A.y=cos2xB.y=2cos2x

(2009年山東省數學高考理科試題)

點評本題主要考查三角函數圖像的變換和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式的基本知識和基本技能,學會公式的變形.

(1)求sinθ和cosθ的值；

(2009年廣東省數學高考理科試題)

解(1)由a與b互相垂直，得

a·b=sinθ-2cosθ=0，

即

sinθ=2cosθ，

代入sin2θ+cos2θ=1得

因此

從而 cosφ= cos[θ-(θ-φ)]=

點評(1)本題主要考查簡單的向量、三角變換及其計算，而解決三角變形問題的關鍵是掌握基本變換思想，充分運用和角與差角、倍角與半角的變形公式.

(2)求值是三角函數的基本問題，本題是一道有關條件求值的問題.解決這類問題的關鍵是尋求條件和欲求結論之間的關系，通常從“角、名、形”這幾個方面入手進行分析.本題首先運用向量運算將條件轉化為“sinθ=2cosθ”，再尋求與第(1)小題欲求結論之間的聯系；第(2)小題還遇到角的整體轉換及公式靈活運用的問題，盡管還可以運用直接將條件用公式展開這種比較繁瑣的方法.可以發現把握整體、尋求轉化是數學解題的一種重要途徑.

2.2 涉及解三角形的三角函數問題

例3在△ABC中，內角A,B,C的對邊長分別為a,b,c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC,求b.

(2009年全國數學高考理科試題Ⅰ)

解法1在△ABC中,因為

sinAcosC=3cosAsinC,

所以由正弦定理及余弦定理有

化簡并整理得

2(a2-c2)=b2.

又由已知a2-c2=2b,得4b=b2,解得

b=4或b=0(舍去).

解法2由余弦定理得

a2-c2=b2-2bccosA.

因為a2-c2=2b,b≠0,所以

b=2ccosA+2.

(1)

又

sinAcosC=3cosAsinC，

所以

sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC,

即

sin(A+C)=4cosAsinC,

從而

sinB=4cosAsinC.

b=4ccosA,

(2)

由式(1)，式(2),解得b=4.

點評(1)事實上此題比較簡單,但考生反應不知從何入手.對已知條件a2-c2=2b,左側是二次的右側是一次的,學生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件sinAcosC=3cosAsinC,過多地關注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差,找不到突破口而失分.

(2)在解決三角形的有關問題時，主要通過正弦定理和余弦定理進行邊角互化，但也要注意一些隱含條件的利用.例如，在三角形中，內角和定理及誘導公式帶來的等量關系如“sinA=sin(B+C)，…”、三邊關系、最大及最小內角范圍等等.

(3)近幾年高考明顯加強對正、余弦定理的考查，并與向量、平面幾何、解析幾何等知識交匯，在備考中應注意總結,提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.

2.3 三角函數與平面向量等的交匯問題

(2009年安徽省數學高考理科試題)

解設∠AOC=α，由題意得

圖1

因此x+y=

2[cosα+cos(120°-α)]=

點評(1)本題題型新穎，雖然是一道以向量為背景的填空題，但考生難以得分，主要是多種知識交匯，有函數思想要求：從“點C在以O為圓心的圓弧AB上變動”想到設“∠AOC=α”，并靈活應用平面向量知識和方程思想，同時考查三角恒等變換和三角函數這一“函數”功能求最值.

(2)三角不僅是數學運算的工具，也是重要的函數，是數學許多知識點的交匯中心.在多種知識點交匯處命題，可體現考試公平公正，避免學生不求理解、盲目做題，真正考出考生的解決問題能力.筆者認為將此題設計為解答題更能體現今后的高考導向作用.

圖2

2.4 三角函數的實際應用

(1)求該船的行駛速度(單位：海里/小時);

(2)若該船不改變航行方向繼續行駛,判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由.

(2008年湖南省數學高考試題)

又由余弦定理得

圖3

(2)如圖3所示，以點A為原點建立平面直角坐標系，設點B，C的坐標分別是B(x1，y1),C(x2，y2),BC與x軸的交點為D.由題設知

x2=ACcos∠CAD=

點評(1)本題是一道以海域測量為背景的實際問題，主要考查三角函數、解三角形、解析法等基礎知識，考查數學建模、抽象概括和解決實際問題的能力.題目將數學的多個知識網絡交匯在一起，對于思維慎密性、書寫規范性及運算等方面提出了較高要求.

(2)應用題是新高考的必考內容，數學來源于生活和生產實踐，又反過來為生活和生產實踐服務.2010年仍將會加大對數學實際應用的考查.

(3)解斜三角形的應用問題通常需根據題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，通過解這些三角形得出所要求的量，從而得到實際問題的解，其中建立數學模型的方法是我們的歸宿，用數學手段來解決實際問題，是學習數學的根本目的.

精題集粹

( )

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4.有4個關于三角函數的命題：

p2:存在x，y∈R,sin(x-y)=sinx-siny；

其中假命題的是

( )

A.p1,p4B．p2,p4C.p1,p3D．p2,p4

5.已知函數f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R，則f(x)是

( )

A．最小正周期為π的奇函數

C．最小正周期為π的偶函數

(1)判斷△ABC的形狀；

11.已知向量m=(sinA,sinB)，n=(cosB,cosA)，m·n=sin2C，且A,B,C分別為△ABC的3邊a,b,c所對的角.

(1)求角C的大小；

參考答案

1.A 2.C 3.D 4.A 5.D

10.解(1)因為

bccosA=accosB,

于是

sinBcosA=sinAcosB,

即

sinAcosB-sinBcosA=0,

從而

sin(A-B)=0.

又-π

(2)由第(1)小題知a=b,因此

11.解(1)m·n= sinA·cosB+sinB·cosA=

sin(A+B),

對于△ABC，A+B=π-C,0

sin(A+B)=sinC,

即

m·n=sinC.

又因為m·n=sin2C,所以

sin2C=sinC,

(2)由sinA,sinC,sinB成等差數列，得

2sinC=sinA+sinB.

由正弦定理得2c=a+b.又已知

即

abcosC=18,a=36.

由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,

即

c2=4c2-3×36,

解得

c=6.