數(shù)列中的遞推方法

● (知恩中學(xué) 浙江寧海 315600)

1 考查要求

新課程考試大綱沒(méi)有涉及遞推數(shù)列，對(duì)數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法的要求是：了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式)，了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，強(qiáng)調(diào)了數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.

2 考點(diǎn)回顧

遞推是認(rèn)識(shí)數(shù)列的重要手段，遞推公式是確定數(shù)列的一種方法，要掌握依據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)及探求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法.數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式從2個(gè)不同側(cè)面表達(dá)這個(gè)數(shù)列的特征構(gòu)造，通項(xiàng)公式與遞推公式有時(shí)還可以相互轉(zhuǎn)化.給出遞推公式，研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，研究數(shù)列不等式是高考的一個(gè)熱點(diǎn).這類題目對(duì)于考查函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想和特殊與一般的思想方法是理想的素材.縱觀近3年的數(shù)學(xué)高考試題，往往將與遞推數(shù)列有關(guān)的題目放在壓軸題.2007年、2008年和2009年數(shù)學(xué)高考理科試卷涉及遞推數(shù)列的分別有14份、15份和11份，其中2009年非新課標(biāo)地區(qū)有10份，而新課標(biāo)地區(qū)僅1份，淡化了對(duì)遞推數(shù)列知識(shí)的考查.

3 命題走勢(shì)

(1)填空、解答題均有可能出題，易、中、難均可體現(xiàn).若為壓軸題,則綜合性更強(qiáng).

(2)常規(guī)題給出遞推關(guān)系或以an與Sn為背景間接給出遞推關(guān)系；熱點(diǎn)題將在數(shù)列、函數(shù)、不等式的交匯處出題，條件或結(jié)論是數(shù)列遞推不等式問(wèn)題，能力要求高，體現(xiàn)了高考的選拔功能.

(3)新課標(biāo)地區(qū)弱化對(duì)遞推數(shù)列的考查，重視對(duì)數(shù)列的基本知識(shí)與基本方法、等差數(shù)列、等比數(shù)列的考查.

4 典例剖析

(2009年重慶市數(shù)學(xué)高考試題)

解由條件得

因?yàn)閎1=4，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4、公比為2的等比數(shù)列，于是

bn=4·2n-1=2n+1.

評(píng)注本題主要考查等比數(shù)列的定義和數(shù)列遞推公式的靈活應(yīng)用.

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

(2009年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題Ⅰ)

解(1)由已知得

因此

利用累差迭加即可求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為

所以

評(píng)注2009年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅰ將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和問(wèn)題，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式，利用放縮法作為解題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用.也可看出命題人有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心.

例3在數(shù)列{an}與{bn}中，a1=1,b1=4，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足nSn+1-(n+3)Sn=0,2an+1為bn與bn+1的等比中項(xiàng)，n∈N*.

(1)求a2,b2的值；

(2)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)Tn=(-1)a1b1+(-1)a2b2+…+(-1)anbn，n∈N*,證明：|Tn|<2n2,n≥3.

(2008年天津市數(shù)學(xué)高考試題)

(1)解由題設(shè)有a1+a2-4a1=0，a1=1，解得a2=3．又由題設(shè)有

解得

b2=9．

(2)解法1由題設(shè)nSn+1-(n+3)Sn=0，a1=1，b1=4，及a2=3，b2=9，進(jìn)一步可得

a3=6，b3=16,a4=10，b4=25，

當(dāng)n≥2時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)等式成立，即

則當(dāng)n=k+1時(shí),由題設(shè)知

kSk+1=(k+3)Sk,

(1)

(k-1)Sk=(k+2)Sk-1,

(2)

式(1)-式(2)得

kak+1=(k+2)ak，

這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立．

再用數(shù)學(xué)歸納法證明:bn=(n+1)2，n∈N*．

①當(dāng)n=1時(shí)，b1=(1+1)2，等式成立．

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即bk=(k+1)2，則當(dāng)n=k+1時(shí),

這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立．

根據(jù)①和②可知，bn=(n+1)2對(duì)任何的n∈N*都成立．

解法2由題設(shè)得

nSn+1=(n+3)Sn，

(3)

(n-1)Sn=(n+2)Sn-1,

(4)

式(3)-式(4)得

nan+1=(n+2)an，n≥2．

因此2a3=4a2,3a4=5a3,…,(n-1)an=(n+1)an-1,n≥3,將以上各式左右2端分別相乘得

化簡(jiǎn)得

此式對(duì)n=1,2也成立．

bn+1bn=(n+2)2(n+1)2，

即

xn=1，n≥1,

于是

即

bn=(n+1)2(n≥1)．

解法3由題設(shè)有nSn+1=(n+3)Sn，n∈N*，因此S2=4S1,2S3=5S2,…,(n-1)Sn=(n+2)Sn-1,n≥2.將以上各式左右兩端分別相乘得

1×2×…×(n-1)Sn=4×5×…×(n+2)S1，

(5)

化簡(jiǎn)得

由第(1)小題知，式(5)對(duì)n=1,2也成立,所以

上式對(duì)n=1時(shí)也成立．

以下同解法2，可得bn=(n+1)2.

(3)略.

評(píng)注解法1通過(guò)數(shù)列遞推公式和初始條件，先求出該數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后觀察這些數(shù)的規(guī)律，通過(guò)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)所有正整數(shù)都成立.

解法3先用“累乘法”求出Sn，然后利用數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與數(shù)列的通項(xiàng)an的關(guān)系求得an.

以上3個(gè)解法實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)的結(jié)果，解法1是在特殊與一般思想及有限與無(wú)限思想指導(dǎo)下得到的;解法2、解法3是在化歸與轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)下得到的.由遞推求通項(xiàng)公式只有在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，才能掌握解題規(guī)律，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高思維能力.

(1)猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(2009年陜西省數(shù)學(xué)高考試題)

又由x2>x4>x6可猜想：數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即x2k>x2k+2,易知x2k>0,則當(dāng)n=k+1時(shí),

即

x2(k+1)>x2(k+1)+2.

也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

結(jié)合①和②知，命題成立.

(2)證明當(dāng)n=1時(shí)，

結(jié)論成立.

當(dāng)n≥2時(shí)，易知0

于是 (1+xn)(1+xn-1)=

評(píng)注本題涉及遞推數(shù)列、數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等.思想方法涉及函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等，用到數(shù)學(xué)歸納法、代入法、放縮法，對(duì)代數(shù)運(yùn)算和推理能力都有較高的能力要求，可以考查學(xué)生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，體現(xiàn)了高校的選拔需要.

精題集粹

( )

A.38 B.20 C.10 D.9.

( )

( )

A．2+lnnB．2+(n-1)lnn

C．2+nlnnD．1+n+lnn

( )

5.已知數(shù)列{an}滿足：a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*，則a2 009=______；a2 014=______.

6.設(shè){an}是正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an滿足4Sn=(an-1)(an+3)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________.

7.數(shù)列{an}滿足

9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.

(1)設(shè)bn=an+1-2an，證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(1)證明：若a1為奇數(shù)，則對(duì)一切n≥2,an都是奇數(shù)；

(2)若對(duì)一切n∈N+,都有an+1>an，求a1的取值范圍.

參考答案

1.C 2.D 3.A 4.B

9.解(1)記Sn+1=4an+2，

(6)

則當(dāng)n≥2時(shí)，有

Sn=4an-1+2.

(7)

式(7)-式(6)得

an+1=4an-4an-1,

可化為

an+1-2an=2(an-2an-1).

又因?yàn)閎n=an+1-2an，所以

bn=2bn-1，

故{bn}是首項(xiàng)b1=3，公比為2的等比數(shù)列．

(2)由第(1)小題可得

bn=an+1-2an=3·2n-1，

即

從而

故

an=(3n-1)·2n-2.

另一方面，若0

若ak>3，則

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，03等價(jià)于an>3,n∈N+.

綜上所述，對(duì)一切n∈N+都有an+1>an的充要條件是03.