高考中的不等式恒成立問題與走勢

● (臺州市第一中學 浙江臺州 318000)

1 考點回顧

不等式恒成立問題常以函數、方程、不等式和數列等知識點為載體，考查等價轉化、分類討論、數形結合、函數和方程等數學思想方法.此類問題既體現了考題的綜合性，又考查了學生的綜合分析能力，因此它已成為各地高考的一大熱點.2007年和2008年考題中的不等式恒成立問題，除個別省市以外，絕大多數都以解答題的形式出現，其中有不少為壓軸題.2009年各地考題中不等式恒成立問題的出現也比較頻繁，主要特點有：以函數為載體、導數為工具的題占絕大多數；以絕對值不等式為載體的題正在增多；以數列與不等式為載體的題目正在減少，雖然安徽、四川等地仍以數列與不等式為載體，但其難度、技巧性也低于往年.

2 命題走勢

新課程的高考命題注重函數思想的能力立意，因此以函數為載體的不等式恒成立問題還將會是今后的主角；含絕對值不等式的恒成立問題可能會增加，新課程卷更有可能出現與絕對值三角不等式、柯西不等式等結合的恒成立問題；以數列為載體的不等式問題將會降低難度.

3 典例剖析

3.1 化歸為最值問題求解

求解f(x)

相應地，f(x)≤g(a)恒成立?f(x)max≤g(a)；f(x)>g(a)恒成立?f(x)min>g(a)(或下確界inff(x)≥g(a))；f(x)≥g(a)恒成立?f(x)min≥g(a).

例1關于x的不等式x2+2bx+1>0當x∈(0,1]時恒成立，求a的取值范圍.

分析1求出f(x)=x2+2bx+1在x∈(0,1]上的最小值，則問題轉化為不等式f(x)min>0求解.

按函數f(x)=x2+2bx+1=(x+b)2+1-b2的對稱軸x=-b與區間(0,1]的位置關系分類如下：

(1)當-b≤0，即b≥0時，f(x)min>f(0)=1>0恒成立，此時b≥0；

(2)當0<-b≤1，即-1≤b<0時，

f(x)min=f(-b)=1-b2>0，

解得

-1

此時

-1

(3)當-b>1，即b<-1時，

f(x)min=f(1)=2+2b>0，

解得b>-1，此時沒有符合條件的實數.

綜上所述，b的取值范圍為b>-1.

分析2結合二次函數圖像，按判別式符號進行分類.

(1)當Δ=4b2-4<0，即-10在R上恒成立，所以

x2+2bx+1>0

當x∈(0,1]時恒成立，此時-1

(2)Δ=4b2-4=0,即b=±1.當b=1時,f(x)=(x+1)2>0在x∈(0,1]上恒成立；當b=-1時,f(x)=(x-1)2>0在x∈(0,1]上的最小值為0，不合要求，此時只有b=1.

(3)當Δ=4b2-4>0,即b<-1或b>1時，要使f(x)=x2+2bx+1>0在x∈(0,1]上恒成立，結合二次函數圖像知,除了f(0)=1>0外，b還要滿足

解得b≥0，此時b>1.

綜上所述，b的取值范圍為b>-1.

評注(1)本題是以一元二次不等式為載體考查不等式恒成立問題的.3個“二次”一脈相承，求解此類問題時要靈活地運用一元二次不等式、二次函數和一元二次方程之間的內在聯系，合理地相互轉化，以達到解決問題的目的.

(2)等價轉化為最值問題是求解不等式恒成立問題的基本方法之一，求最值時常要進行分類討論.“f(x)>0在[a,b]上恒成立”，就是“使[a,b]內的每一個值都能使f(x)>0成立”.因此可以先在[a,b]內取特殊值初步估計出參數的范圍，這樣有望簡化或者避免分類討論.例如在題目中由f(1)=2b+2>0初步估計得b>-1.這樣分析1就可以避免對第3種情況的討論，簡化分類討論；有時，利用此法還可以避免分類討論.

(2009年湖北省數學高考試題改編)

分析由條件f′(x)=-x2+2bx+c，得

g(x)=|f′(x)|=|-(x-b)2+b2+c|.

只要求出g(x)在[-1,1]的最大值M的最小值.

(1)當|b|>1時，函數y=f′(x)的對稱軸x=b位于區間[-1,1]之外，此時y=f′(x)在[-1,1]上是單調的，其最值在2個端點處取得.故M=max{g(-1),g(1)},于是

2M≥g(1)+g(-1)=

|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥

|(-1+2b+c)-(-1-2b+c)|=

4|b|>4,

即M>2.

(2)當|b|≤1時，函數y=f′(x)的對稱軸x=b位于區間[-1,1]內,此時

M=max{g(-1),g(1),g(b)},

于是 4M≥g(-1)+g(1)+2g(b)=

|-1-2b+c|+|-1+2b+c|+2|b2+c|≥

|(-1-2b+c)+(-1+2b+c)-2(b2+c)|=

|2b2+2|≥2,

解得

評注此題是以含絕對值不等式為載體考查不等式恒成立問題的.求最值時要靈活運用含絕對值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，例如題中求解時都是為了消去參數c而靈活選取公式.第2種情況的求解:由f′(1)-f′(-1)=4b可分-1≤b≤0與0

f′(1)≤f′(-1)≤f′(b)，

所以

g(-1)≤max{g(1),g(b)}，

則M= max{|f′(1)|,|f′(b)|}≥

當0

3.2 分離參數

分離參數就是通過恒等變形，使參數和主元分別位于不等式的2邊，將其轉化為本文的第1類問題即等價轉化為最值問題求解.

(2009年山東省數學高考文科試題改編)

令g′(x)=0，得

評注(1)本題是一個函數單調性問題，此類問題常通過等價轉化的方法將其轉化為不等式恒成立問題來求解.

3．3 構造函數

由于解題的需要，根據不等式的特征構造一個新的函數，進而轉化為求解所構造的函數的相應的最值問題.

(2009年遼寧省數學高考理科試題改編)

f(x1)-f(x2)+x1-x2>0，

即

f(x1)+x1>f(x2)+x2,

因此構造函數g(x)=f(x)+x，然后證明它在(0,+∞)遞增即可.

由1

g′(x)>0，

即g(x)在(0,+∞)上單調增加，從而當x1>x2>0時,有g(x1)>g(x2)，即

f(x1)-f(x2)+x1-x2>0，

故

同理，當0

評注本題根據不等式的結構特征構造了一個新的函數，通過求導確定所構造函數的單調性求解.題中沒有導數的跡象，可能會導致學生只重視傳統方法思考而束手無策，因此高三復習時要注重導數應用的復習.

3.4 數形結合

當不等式(或通過變形后得到的不等式)2邊的函數的最值存在，而且不等式2邊的函數圖形易作時，常畫出相應的函數圖像，借助函數圖像的位置關系確定參數的取值范圍.

例5關于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1,12]上恒成立，求實數a的取值范圍.

圖1 圖2

由圖像可知,當14-a≥4時,y1≥y2恒成立;當a-1≤9時,y3≥y4恒成立.求得a的取值范圍為a≤10.

3.5 變更主元

在處理某些不等式恒成立問題時，適當地變更主元，交換主元變量與參數的“地位”，構造新函數求解.

例6設函數f(x)的定義域為R，若對于任意實數m，總有f(m+n)=f(m)·f(n),且當x>0時，0

分析由題設可得,當f(0)=1且x<0時，f(x)>1，f(x)在R上單調遞減,所以當x∈[0,+∞)時，f(x)max=f(0)=1.

要使f(x)≤m2-2am+1對所有x∈[0,+∞)，a∈[-1,1]恒成立,只要m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0在a∈[-1,1]上恒成立.

令g(a)=-2ma+m2,此式為關于a的一次函數,它在a∈[-1,1]上的最值必在閉區間的2個端點處取得,所以m2-2am≥0在a∈[-1,1]上恒成立等價于

解得

m≤-2或m=0或m≥2.

故m的取值范圍是m∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).

評注本題涉及到的變量有3個，求解多元變量的不等式恒成立問題，通常可利用逐步固定法.如題中先固定m和a，解決以x為主元的不等式恒成立問題，進而求解以m和a為變量的不等式恒成立問題.不等式m2-2am≥0是關于m的二次不等式，變更主元后，降為以a為主元的一次不等式，從而簡化了運算.在一般情況下，函數y=f(m,x)遵循“已知哪個變量的范圍，就是這個變量為主元”的原則.

精題集粹

1．在下列函數中，滿足“對任意x1,x2∈(0,+∞)，當x1f(x2)”的是

( )

C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)

2．設y=f(x)在R上有定義.對于給定的正數K，定義函數

取函數f(x)=2-x-e-x,若對任意的x∈R，恒有fK(x)=f(x)，則

( )

A．K的最大值為2 B．K的最小值為2

C．K的最大值為1 D．K的最小值為1

3.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為

( )

A．(-∞,-1]∪(4,+∞)

B．(-∞,-2]∪[5,+∞)

C．[1,2]

D．(-∞,1]∪[2,+∞)

4．當x∈(1,2)時，不等式(x-1)2

( )

A．[2,+∞) B．(1，2)

C．(0，1) D．(1，2]

6.已知f(x)=x3-9x2+24x，若對于任意的m∈[-26,6]，恒有f(x)≥x3-mx-11成立，則實數x的取值范圍為________.

8．若不等式ax2-|x+1|+2a≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為________.

9．已知2個函數f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k為實數.

(1)對任意x∈[-3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；

(2)對任意x1,x2∈[-3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范圍.

參考答案

1．A 2．D 3．A 4．D

9．分析(1)問題可轉化為h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]上恒成立,求得k≥45.

(2)問題轉化為在x∈[-3,3]上要滿足fmax(x)≤gmin(x)，求得k≥141.

|f′(x)|min=|f′(1)|=|3-6a-9a2|≤12a.

因為

3-6a-9a2

且

3-6a-9a2≥-12a,

解得

所以