解析幾何中突顯“方程”工具作用的兩途徑

解析幾何的主要做法是用方程取代曲線(或部分取代曲線)來研究曲線的幾何性質，那么究竟怎樣來利用“方程”這個工具呢?筆者結合高考備考，感知浮現出兩種主要途徑，現舉例說明，供大家參考。

一、圓錐曲線方程與直線方程聯解方程組。雖近年解析幾何的熱點問題是與向量綜合。即便如此，聯解方程組，不可小看，仍是解決問題的主要途徑之一。

例1:在平面直角坐標系xoy中，經過點(0，■)且斜率為k的直線與橢圓■+y2=1有兩個不同的交點P和Q。(1)求k的取值范圍;(2)設橢圓與x軸正半軸y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數k，使得向量■+■+■與共線?如果存在，求k值;如果不存在，請說明理由。

解析:(1)可設直線的方程為y=kx+■，代入橢圓方程得(■+k2)x2+2■kx+1=0由于直線與橢圓交于不同兩點P、Q，因此△>0，可得出k<■或k>-■。(2)設P(x1、y1)，Q(x2、y2)，則■+■=(x1+x2，y1+y2)結合韋達定理，及與■ =(-■，1) ，可得k，由(1)的范圍知，若k不符合要求應舍去。

點評:該題以直線與圓錐曲線的位置關系為背景考查，主要借助聯解方程組，消元后得到的二次方程判別式△>0及韋達定理來解決。體現了近年高考考查的重點，同時與向量綜合，降低思維難度，突出考查運算能力，符合近年高考題“入手寬”的特點。

例2:已知F1、F2是橢圓■+■=1(a>b>o)的左、右焦點，o為坐標原點，點P(-1，■ )在該橢圓上，線段PF2與y軸的交點M滿足■+■=■，⊙O是線段F1F2為直徑的圓，一直線l，y=kx+m與⊙o相切，并與橢圓交于不同的兩點A、B，(1)求橢圓方程;(2)當■·■=λ，且滿足■≤λ≤■時，求△ABC面積S的取值范圍。

解析:(1)■+y2=1，(2)根據t與⊙o相切，因此表示△ABC的面積關鍵是表示出弦長|AB|，可設A(x1，y1)、B(x2，y2)，由■+y2=1y=kx+m得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，得x1+x2、x1-x2，S△AOB=■■·■，又■=1則S△AOB=■，另■+■=x■x■+y■y■=■=?姿，可得出k2∈■，1，進而求出S△AOB的范圍來。

點評:該題仍聯解方程組，利用韋達定理，并且很好的與向量通過數量積的坐標運算結構綜合，是近年高考試題的常見模式。

二、不與其他方程聯解方程組，突出“消元”。

例3:已知橢圓C:■+■=1(a.>b>0)的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F2(1，0)，且經過點P(1，■)，M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF2為半徑作⊙M。(Ⅰ)求橢圓方程;(Ⅱ)若⊙M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍。

解析:(Ⅰ)■+■=1，(Ⅱ)設M(x0，y0)，有■>x0，化簡得y02-2x0+1>0而M在橢圓上有■+■=1，有y02=3-■x02代入“消元”可得3x02+8x0-16<0，且-2≤x0≤2，∴-2≤x0<■.

點評:方程沒有去聯解方程組，而是因為點在曲線上，坐標滿足方程，進行“消元”。

例4.設A、B分別為橢圓■+■=1(a.>b>0)的左、右頂點，(1，■)為橢圓上一點，橢圓的長半軸的長等于焦距，(Ⅰ)求橢圓的方程。(Ⅱ)設P(4、x)(x≠0)若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的兩點M、N，證明B在以MN為直線的圓內。

解析:(1)■+■=1，(2)A(-2，0)、B(2，0)，設M(x0、y0)，由P、A、M三點共線有P(4，■)從而■=(x0，-2y0)，■=(-2，■)，■·■=4-2x0-■，又點M在橢圓上有■+■=1得y02=■(3-x02)(-2

點評:該題雖涉及直線與圓錐曲線的位置關系，但不聯解方程組，由結論形式合理把問題轉化為去證明∠MBN為鈍角，進而想到向量的夾角，化為數量積符號判斷，而方程主要用于“消元”。

縱觀歷年高考解幾試題，問題在變，但仔細琢磨“聯解方程組”，“借助點在二次曲線上，坐標滿足方程來消元”是突顯“方程”工具作用的兩個主要途徑，是不變的，便于學生把握。( 作者單位 陜西省神木縣神木中學) 責任編輯 楊博