不能再下降的口算能力等

策劃人語

眾所周知，口算是一切筆算、簡算和估算的基礎，課程標準強調“要重視口算”。而實際情況是，很多人認為口算就是簡單的口頭計算，只是一種單一的運算技能，沒有多大的思維含量，因此長期以來使得口算處于“集體輕視”狀態。

本期這組文章，從一項一年級初入學兒童的加減法基本口算現狀的調查談起，進而引發我們深入思考：課程改革后學生的口算能力為什么下降?當前的口算教學到底出了什么問題?怎樣采取有效策略提高口算教學的效益并影顯其核心價值?

從一項口算能力調查談起

徐 斌

一 問題的提出

筆者在一年級數學教學以及調研中常常發現，一年級新入學兒童的加減法口算能力很不平衡。有的學生在學前就已經經歷了幾年的加減法計算練習，有的學生不僅10以內加減法能熟練計算，甚至20以內、100以內加減法也會計算，同時也還有不少學生20以內加減法基本不會計算。這樣的情況，給我們的數學課堂教學帶來了很多值得思考的問題：一年級新人學兒童的20以內加減法口算能力到底是怎樣的現狀?造成這種現狀的原因有哪些?面對這樣的現狀。如何改進我們的計算教學?入學之前的加減法口算學習對入學后的數學學習有怎樣的影響?

二 調查的方法

1 調查對象。蘇州工業園區第二實驗小學2007年和2008年秋季一年級新人學的所有兒童。調查時間為當年9月中旬(調查時間之所以安排在9月中旬，主要基于如下考慮：一方面，9月上旬，剛入學兒童的各項學習常規尚沒有初步形成，甚至有少數學生書寫數字還不會；另一方面，此時尚沒有正式學習加法和減法，不會影響所測內容的客觀性)。

2 調查內容。20以內加減法。我們設計了4份口算測試卷，分別測試lO以內加法(25題)、lO以內減法(25題)、20以內進位加法(36題)和20以內退位減法(36題)。命題時依據隨機原則安排題目呈現的順序，同時考慮題目的典型性與分布率。

3 調查方式。本調查采用試卷測試、觀察、訪談等方式，共收回有效試卷707份。

三 調查結果與分析

經過兩年的調查，我們對有效試卷采用SPSS11.5工具軟件進行了數據處理。結果如下：

1 基本情況。

從表1可以基本了解新入學兒童20以內加減法基本口算的總體情況。其中值得關注的是，兩年的調查結果中，10以內加法的滿分率分別達到75.10％和77.80％，正確率則高達97.64％和98.36％；10以內減法的滿分率達到52.50％和52.30％，正確率高達93.64％和94.08％；20以內進位加法的滿分率達28.70％和34.20％，正確率達到85.97％和75.56％；而20以內退位減法的滿分率僅為18.10％和13.80％，正確率為62.72％和36.58％。也就是說，在一年級新生剛入學，尚未正式系統學習20以內加減法時，就有超過四分之三的兒童會正確計算10以內加法了，有超過一半的兒童會正確計算10以內減法，有三分之一左右的兒童會正確計算20以內進位加法。只有將近五分之一的兒童會正確計算20以內退位減法。

從標準差的值來看，10以內減法的離散程度比10以內加法大(兩年中減法計算的標準差分別為3.66和3.67，加法計算的標準差分別為1.95和1.21)。20以內退位減法的離散程度比20以內進位加法大(兩年中退位減法計算的標準差分別為13.04和14.40，進位加法計算的標準差分別為7.55和11.36)。

2 正確率分布情況。

從表2、表3的分類統計可以看出：

(1)10以內加減法的得分分布情況類似。前四個分數段(0～5，6～10，11～15，16～20)的人數比較少：10以內加法2007年占總數的2，64％，2008年占總數的1.13％：10以內減法2007年占總數的8，68％，2008年占總數的6.34％。而第五個分數段(21-25)的人數很多，10以內加法2007年占總數的97.36％，2008年占總數的98.87％；10以內減法2007年占總數的91.32％，2008年占總數的93.66％。這反映了新入學兒童大多數會計算10以內的加減法。

(2)20以內進位加法和退位減法的得分分布情況略有不同?？傮w上，進位加法計算的前六個分數段(0～5，6～10，11～15。16～20，21～25，26～30)的總人數2007年占總數的26.04％，2008年占總數的39.37％。而第七個分數段(31～36)的人數都超過了60％；退位減法的得分情況很不均衡，尤其值得關注的是2008年測試中，退位減法0～5分的學生占到了48.42％，比2007年的16.60％足足高了31.82個百分點，這表明2008年有將近一半的學生幾乎不會計算20以內退位減法。

四、結論、思考與建議

1 結論。從以上調查，可以看出一年級新入學兒童20以內加減法基本口算能力情況：

10以內加法的口算能力很強，10以內減法的口算能力比較強。由于兒童在學前的生活中經常見到10以內的數。而且通過觀察和訪談得知，學前兒童大多在家長和幼兒園里非正式地學習和接觸過10以內加減法。具體有如下的幾種狀況：大多數兒童是依賴實物數數(包括扳手指頭)來獲得結果的，少數兒童能初步由逐一計數過渡到按群計數，極個別兒童已經通過多次口算而擺脫了實物依賴，能熟練算出得數。

20以內進位加法的口算能力比較弱，20以內退位減法的口算能力很弱。雖然從認數和數數的范圍來看，入學前兒童似乎能數20以內甚至100以內的數，但是，他們的認數水平是表面的，很少有兒童能從數的位值原則和計數原理的角度來認數和計算。所以，20以內加減法的口算能力與10以內加減法相比。明顯較弱。通過觀察發現，那些依賴扳手指頭來計算10以內加減法的兒童，在計算20以內加減法時，由于手指頭不夠用而無法計算。

通過學生測試時的觀察以及個別訪談我們也發現，新入學兒童20以內加減法運算的策略差異性很大。主要表現為以下幾種策略：逐一數手指，按順序口頭數數，通過扳手指接下去數，用數的組成算，通過湊十或分解推算，直接提取記憶結果，等等。我們認為，新入學兒童進行20以內加減法運算策略的運用，反映了兒童對數概念及其關系的理解與運用，反映了兒童早期數學認知發展水平和個體差異，是其非正式的數學認知能力之一。對進入小學后的正式數學學習將產生重要影響。

2 思考與建議。

(1)對教學的建議。首先，重視10以內加減法的基礎教學。6～7歲兒童的邏輯運算能力處于“前運算階段”，并逐步向“具體運算階段”過渡，簡單計算事實上還未完全進入其長時記憶系統，其計算需要依賴于感知經驗。兒童入學之前計算加減法，往往是依靠扳手指或借助其他實物數出得數等外部策略獲得結果。因此，一年級教學這部分內容時，要特別注意把認數與計算結合起來，使學生在理解加、減法含義的基礎上學會計算。教學時，可以在直觀情境中先幫助學生理理加、減法含義，然后放手讓學生算出得數，再引導學生說出計算方法，在觀察、比較、歸納中逐步過渡到利用10以內數的組成來按群計算，并逐步擺脫手指和其他實物，再通過訓練，達到看見或聽見10以內加減法，都能很快直接說出得數，從而達到“自動化”的程度。

其次，加強20以內進位加法和退位減法的方法教學。小學生口算加減法的方法一般存在3個層次：逐一重新計數一借數數加算或減算一按數群運算。在教學基本口算時，要重視讓學生逐步掌握按數群運算的方法。在教學初期，為了達到算法指導下的正確計算，可不作計算速度的要求。20以內進位加法和退位減法與10以內加減法不同的是，在計算過程中除了要用到數的組成以外，更重要的是計算方法問題。盡管課程改革以來，在計算教學中大力倡導了“算法多樣化”的思想，但是，在教學時也要重視“基本算法”。20以內進位加法教學時，要幫助學生深入理解“湊十法”的基本原理；而20以內退位減法教學時，要利用加、減法的內在聯系，幫助學生靈活掌握算法。而且在教學中還要注意，對某一個學生來說。不要求“一題多種算法”，以免互相干擾。

再次，科學進行20以內加減法的口算訓練?？谒悖霸仁且粋€思維問題，一旦掌握了計算法則，經反復練習，也就成了記憶問題”。基本口算作為一項基本功，在整個小學階段要不斷線地進行訓練，應結合不同年級的教材和學生的特點，恰當地提供訓練材料，做到適時、適量、適度?？谒阌柧殨r，要特別注意目的性和針對性。由于基本口算結構單一，數域范圍小，有些教師容易忽視或命題時隨意性很大，易造成各題練習次數不合理，甚至出現易題多練、難題少練的現象。因此要在具體分析的基礎上，合理選擇訓練的內容。針對學生口算能力形成的心理特點，在開始練習時，應注意練習的量不宜太大，速度不宜太快。確?？谒愕臏蚀_性和思考過程的清晰度；一段時間后。適當增加練習量并提出速度要求；最后達到看到算式就能較快地說出和寫出得數的目標，使學生建立起算式與得數之間的直接聯系，簡縮思維過程，并逐步提出口算自動化的要求。

(2)對教材的建議。由調查發現，新人學兒童10以內加減法口算的基礎比較好(有超過半數的學生會正確計算)。因此在一年級數學教材編寫時，可以適當縮短這部分內容的教學時間，把更多的篇幅用來進行20以內進位加法和退位減法教學。例如蘇教版課程標準教材一年級上冊中用了35個頁碼(P40～P75)近30節課時來教學10以內的加減法，人教版一年級教材中用了60個頁碼(P14～P31教學“1～5的認識和加減法”。P42～P83教學“6～10的認識和加減法”)近50節課時來教學10以內加減法。北師大版一年級教材也用了28個頁碼(P22～P49)20余課時來教學10以內加減法，西南師大版一年級教材用了50個頁碼(P4～P53)近40節課時來教學10以內加減法。筆者建議教材編寫這部分內容時，盡可能縮短10以內加減法的課時或者給予更多彈性安排，把更多的時間用來在教材中適當增加口算的練習量，增加訓練的形式，以提高口算教學和訓練的實效性。

(3)對學前計算教學的建議。經過觀察和訪談發現，學前階段兒童的加減法計算。大多是家長和幼兒園老師教會的。而不同水平層次的家長對兒童加減法的口算教學所采用的方法各不相同，有的是死記硬背，有的是純粹數數，還有的完全依賴實物。而且。大多數家長在教孩子口算時，單純地停留在機械計算層面上，很少從加、減法的含義方面來幫助學生獲得實質理解，學生只是處于模仿、重復和記憶之中。這樣的提前教學，表面上看，不少學生似乎能計算不少口算題，實質不利于學生形成對數學的本質了解，也阻礙了學生正常的思維發展。因此，建議家長不要過多地教孩子機械和單一的計算。而更應該結合學生的生活實際，幫助學生建立對數學的基本認識，培養對數學的濃厚興趣。經過對有關幼兒園計算教學情況的走訪發現，幼兒園里有關數學方面的教材。很多把本應該在小學教學的認數和加減法計算提前教學了。因此，建議學校和幼兒園之間多進行幼小銜接方面的溝通，以有利于兒童科學、高效地學習20以內加減法。

總之。本次調查使我們從源頭上認清了學生基本口算的概況，同時給我們的口算教學提出了挑戰：如此大的口算能力差異我們該如何應對?其他年級學生的口算現狀又是怎樣?如何尋找最合適的策略去提高學生的口算能力?

(作者單位：江蘇省蘇州工業園區第二實驗小學)

口算教學，怎一個“煩”字了得?

陳惠芳

2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》(以下簡稱“課程標準”)把運算作為必須具有的數學應用技能之一，特別指出要重視口算，加強估算。“課程標準”還提出了各個學段的基本運算應該達到的速度和正確率指標，要求學生運用合理的計算策略，能為解決問題而選擇適當的算法，能估計運算的結果，并對結果的合理性做出解釋。隨著課程改革的深入實施，口算教學也日漸成為一線數學教師普遍關注的焦點內容。一線教師普遍感到口算教學看似簡單，實則難以把握，甚至存在效率低下的現狀，挺“煩”人。那么，新課改背景下，小學數學口算教學究竟有哪些突出的問題?

一 面對靈活開放的教材。忽視文本解讀

較之老教材，新教材在每一個知識點后，并沒有出現規范的計算方法的總結語，也沒有完整的提示語。這就給一線數學教師提供了更大的自主開發教材的空間，也給學生的自主探究性學習提供了機會。然而，靈活開放的教材也時時拷問教師解讀教材的能力。

例如五年級初學小數乘法。教材首先出示了情境圖：“夏天每千克西瓜0.8元，冬天每千克西瓜2.35元，夏天買3千克西瓜要多少元?冬天買3千克西瓜需要多少元?”對于這樣一個現實問題，教學時是從小數加法引入小數乘法的，而豎式計算時，應該怎么書寫，如何進行計算，教材上沒有出示相應的方法，在“試一試”中有這樣一句提示語：“在小組里說說小數和整數相乘應該怎樣計算?！苯虒W時，究竟應該如何把握編者意圖，需要教師對教材進行認真分析。小數乘法的基礎是整數乘法和小數加法，而豎式計算時學生需要掌握一定的算理和算法。因此。教學這部分內容時。應加強兩位數乘一位數的乘法口算練習。但事實上，部分教師沒有很好地挖掘教材的內涵，往往就情境而情境，缺少結合筆算教學同時加強口算練習的意識和行為。是探索式，即經過自己的獨立探究、思考，創造出算法。就計算方法而言，算法多樣化是新教材最顯著的特點之一。口算方法的多樣化，有其成功的方面，也給少數學困生帶來了學習上的“后遺癥”。

比如教學“9加幾”時，教師讓學生自主探索或者同桌合作，想辦法算一算9+4得多少。交流環節。第一位學生借助小棒數數，從9一直數到了13，他得出9+4=13；第二位學生先從4里面拿出1，與9湊成10，再用10+3，得到了13；第三位學生從9里面分出6和4湊成10，再用3+10得到了13；還有的學生直接把9看作10，先加4，再減去1，結果也等于13……教師一一給予了肯定。其實，本節課中，應該重點讓學生掌握“湊十法”的思考過程，而教師并沒有很好地加以重視。所以，在接著計算9+5、9+6、9+7等算式時，學生依舊用了多樣的口算方法，教師對每種方法都進行了肯定性評價，部分學生無所適從。到下課時連最基本的湊十法也沒有掌握。

其實，算法“多樣化”追求的是尊重差異、尊重真實、尊重學生的原生態思考，而算法的“優化”就是讓學生根據已有的知識經驗，在多樣化的算法中，找到一個普遍都能接受、最能理解和最容易掌握的算法的過程，“多樣化”只有得以“優化”。才能更好地促進口算能力的提高。

三、算理與算法之間脫節。忽視方法滲透

算理和算法是相互聯系、有機統一的一個整體，是計算教學必須關注的兩個方面。算法是對行為的規定，是計算的具體方法；算理是對算法的解釋，是計算的原理?？谒憬虒W，只有讓學生正確理解算理，才能靈活掌握算法。而事實上，算理與算法脫節，造成算法抽象與算理直觀之間出現了斷層，已經是口算教學中常見的問題。

如教學二年級下冊“一位數乘兩位數”時，一位教師出示教材情境圖，引導學生列出算式14×2。如何計算呢?教師讓學生討論交流。有的學生說用加法做。14+14得到28；有的通過看圖，右邊筐里一共是8個，左邊筐里一共是20個，合起來是28個；還有的用乘法想，10乘2等于20，4乘2等于8，20加8等于28；還有一學生說。14是2個7，乘2后就是4個7，用口訣四七二十八……可見，學生采用口算14×2的方法是多種多樣的。但是，在引導學生用豎式計算時，該教師脫離了口算，直接講述抽象的算法，機械地講解先乘什么，再乘什么。其實，為了避免算理與算法的脫節，可以在學生初步理解算理之后。不著急抽象算法，而是讓學生運用初建模式進行同類練習。然后組織學生觀察和比較，學生發現，第一次乘的結果是一位數，第二次乘的結果都是兩位數(并且是整十數)；還有的發現，得數個位上的數就是第一次乘得的數，十位上的數就是第二次乘得的數十位上的數。此時可以逐步抽象出簡化豎式(算法)，從而使學生掌握類似這樣的“一位數乘兩位數”的計算方法。

可見?？谒銜r學生要將計算分割成很多的小過程(如上面的4×2，10×2)，將各種信息在頭腦中合理地進行拆分、拼組等。并要在短時間內完成所有步驟得出正確結果，這是一個很高級的心理活動。而學生正是通過這樣的心理活動，鍛煉了自己的思維，發展了注意力、記憶力(短時記憶力)和創造性思維能力。這不僅是口算的價值之所在，而且是教材安排口算教學內容的出發點。

四、只重視結果的正誤。忽視過程指導

很多教師平時也加強口算訓練，而事實上，許多教師只重視學生口算結果是否正確，而忽視過程指導。

例如在口算20x30時。很多學生會受20+30加法的影響，算成50或500，教師應該讓學生說一說，當時是怎么想的，提醒學生以后看清楚運算符號：在用豎式計算2x34時學生的正確率還可以，但口算2x34時，會把答案寫成86，顯然在口算時隨意性比較大，口算時的對位思想比較淡薄，此時，應該提醒學生看清楚8是幾乘幾得到的。6是幾乘幾得到的，寫得數時要注意一一對應；在口算35+38時。學生往往會忘記進位。算成63；在口算52-19退位減法時，會不退位算成47，而不注意當個位上不夠減時應從十位退一作十再減，看似簡單的算理，學生的理解尚需一定過程。可見，口算出現問題，教師不能簡單評判“對”還是“錯”，而應該盡可能地挖掘錯誤背后的教學資源。要分析錯誤原因，是學習習慣問題，還是口算方法問題，是心理因素影響，還是短時記憶問題。只有找到錯因，才能進行有針對性的過程指導，口算訓練才能真正落到實處。

五、訓練時重“量”輕“質”，忽視習慣培養

良好的習慣有助于提高學生的學習能力，而不良答題習慣經常會引發學生計算錯誤。目前很多教師在口算訓練時重“量”輕“質”，忽視學生良好學習習慣的培養。

如學生練習口算時，聽題、讀題、抄寫答數往往不夠仔細，經常把1寫成7，把6看成9，把5寫成3等，或者看錯運算符號，把“+”看成“÷”等等。在口算加減法時，忘記進位和退位，口算除法時，余數不能正確處理。如口算800÷30=26……20，余數算成了2。因此，我們不能把這種錯誤簡單歸咎于“粗心”或“馬虎”，而應該重視學生學習習慣的養成。教師要注意培養學生良好的審題習慣，克服提筆就算的毛病。不妨通過聽算訓練學生聽的習慣，要求書寫工整；通過視算，訓練學生看的習慣，要求學生看清楚并正確記憶。培養學生思考的習慣，看到題目要尋找最簡(最優)算法。檢驗的習慣，口算時要有細心、認真、負責的學習態度。還有改錯的習慣，要讓學生學會主動分析自己出現的錯誤。總之，學生在任何地方、任何狀態下完成口算題時應集中注意力。不說話，獨立思考。養成“看清題目、注意符號，正確口算、書寫整潔、自覺檢查”的良好習慣。努力提高口算正確率。

六、關注實際問題解決。忽視相機訓練

毋庸置疑，口算存在于生活的每一個角落，存在于數學學習的每一個領域之中。在小學階段，學生的思維處于具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，發展邏輯思維是學生數學學習的內在要求。也是促進學生智力發展的有效途徑之一。課堂上，很多教師只關注問題解決。而忽視相機的口算訓練。

如：六年級在復習圓柱、圓錐一單元時，計算比較復雜。尤其是圓柱的表面積、側面積與體積，圓錐的體積計算等。很多算式中。都會出現3.14與半徑的平方的乘積。學生常常會算錯。其實，平時在教學“解決問題的策略”時，可以有意識地引導學生進行相關的口算練習，去熟記一些常用的公式、計算的結果，這樣能有效地幫助學生進行問題解決。尤其通過一些算式的觀察比較，找尋規律，發展數學思維，提升學習品質。可見，口算練習與其他知識的學習不能孤立開來，應該把口算練習融入數學學習的整個階段。

七、練習形式設計單一。忽視興趣激發

一堂計算訓練課，一定有它內在的生長邏輯。什么是教師該傳授的?什么是該讓學生自主探索的?教學時若能將教材的內在結構轉化為課堂的教學結構，不僅能突顯口算教學的主干，也能使課堂變得疏密有致。日常的口算教學中。我們常常發現教師不能根據學生各年齡段的心理特征，設計不同形式的題目吸引學生的眼球，而是練習的形式單調，學生感到乏味。還有的教師平時不加強練習，只在期末測試前才進行突擊，并加大練習量。這種過分集中的方式。更容易使學生產生厭煩情緒。

另外，很多教師進行口算教學時，總是用投影、卡片或直接用書上的口算題呈現出來，采取的方式大多是視算。包括看題目直接寫出得數和看題目口述得數兩種方法。經常采用單一機械的訓練形式，學生容易“審美疲勞”。其實，像低年級學完乘法口訣，初步理解口算原理與方法后，可以進行以口訣為中介的多樣化口算：先進行見算式一說口訣一寫得數的訓練，如4×5，先出聲說口訣“四五二十”，然后寫出得數20；再進行見算式一想口訣一得結果的訓練；最后是“一訣四式”的訓練。倘若每個學段有意識地加以引導，口算練習的密度就提高了，口算技能的形成就指日可待。

八、家長“揠苗助長”。忽視家校攜手

“嚴格控制學生在校作業量”“切實減輕學生過重的課業負擔”，當眾多的新聞媒體開始關注學校、關注學生時，教師思想解放了，家長卻愁眉苦臉了。由于每個學生的家庭文化背景不同。其家庭教育方法也不盡相同。學生之間的差異相對明顯。一部分家長認為。孩子進了學校，就由教師負責，課堂上學好就行，家里用不著幫助孩子進行口算訓練，而另一種家長“急中生智”，加大練習。往往“揠苗助長”。他們買相關的口算本、參考書，開“小灶”。這種現象在低年級家長中尤為突出。殊不知。不合理安排訓練時間，不講究訓練方法。久而久之，孩子談“算’色變，聞“算”而逃。調查發現，很多孩子在進入一年級學習時，能進行10以內的簡單口算，有的還學會了一些簡單的整十數加減，個別甚至能做20以內的進位加和退位減了，但到真正接觸這些內容時，學生昏昏欲睡……可見，家長操之過急的心態，機械盲目的訓練，并不科學的輔導方法，使很多學生從此失去了正確口算的自信。

九、過多依賴電腦演示。忽視示范引領

目前，隨著信息化社會的到來。很多青年教師上課都喜歡使用多媒體手段，變革教學方式，尤其是低年級的數學課，使用課件(光盤)的特別多。這其中有積極的一面，可以借助多媒體手段突破教學重點、難點，節省一些時間讓學生進行練習，但也存在一些不利因素。有些教師整節課都利用多媒體進行演示操作，生動的圖畫、逼真的效果，學生學的時候興趣盎然，看的時候目不轉睛，而到獨立練習時卻頭腦空空。很多教師的數學課，黑板上連課題都不板書，都在電腦上操作演示，一閃而過，忽視示范引領和過程展開，以致新課結束時，黑板上一片空白。這樣的口算教學失去了教師應有的主導作用，缺失了學生參與計算算理和算法的形成過程，無疑是有缺憾的。

十、考核評價方法隨意。忽視目標導向

筆者發現。目前的小學數學考試，雖然也從多個方面來考查學生的數學基礎知識、能力，但對口算的專門考核和評價，還缺少科學合理的方式。一般的數學期末考試，口算題安排在試卷里面，題量很少，覆蓋面不廣。難以真正考查學生的口算技能；有的口算測試，單獨進行考核，一般以年級為單位，利用幾分鐘進行單獨測試，題量一般在20～50道左右。但各個學校的做法不盡相同；有的口算測試只考查正確率，不考查速度，缺乏全面評價；還有的口算測試，對速度的要求過高，有的甚至要求學生每分鐘口算50道甚至60道題?？谒憬虒W，究竟如何進行測試?試題的難度如何把握?看來，測試忽視目標導向，考核方法隨意，顯然不能正確反映學生口算能力的真實水平。因此，從有效教學的角度看，我們顯然需要更加理性地思考：如何針對學生的年齡特點、認知規律進行口算測試，發現問題，進而行為跟進，真正提高口算教學的有效性。

(作者單位：江蘇省張家港市教育局教學研究室)

對口算算理、算法的辯證認識

賁友林

什么叫算理?什么叫算法?這是進行口算教學必須首先搞明白的問題。算理就是計算過程中的道理，解決“為什么這樣算”的問題。算法就是計算的方法，解決“怎樣算”的問題。如何認識口算中算理與算法的關系，下面談一些想法。

“有”與“無”

對于小學生的口算來說，核心的內容是基本口算。所謂基本口算主要指20以內加減法和表內乘除法。除了這些基本口算。要求學生掌握的還有簡單的兩位數加、減法及百以內的乘加、乘減、除加、除減等；在小數、分數四則計算中，也有相當數量的口算內容。那學生在學習這些口算時，是否都是理解算理、掌握算法，并在理解算理的基礎上掌握算法的呢?

先從最簡單的加法說起。3+2。怎樣算?為什么這樣算?就這兩個問題，我訪談了大學教授、小學數學教研員和小學數學教師，但他們沒有一人能做出解釋。其實不難發現。我們往往脫口而出3加2等于5，我們的策略是“直接提取”，也就是說，3加2等于5，我們成人已經形成了“計算自動化”，在我們的頭腦中已經有了現成的答案，我們可以迅速地從長期記憶中提取有關數學事實。

那我們在一年級教學時。又是如何處理3+2的呢?一種常見的教法是借用數的組成想得數，即想：5可以分成3和2。3加2等于5。我們知道，在學習3+2=5之前，已有相當一部分學生知曉3+2=5；我們也知道，有學生最初就是用“數手指”的方法數出來的。之后，又由數手指發展為數數，即接著3之后數兩個數：4、5，所以，3+2=5。這樣的算法，我們也許覺得很幼稚，但這樣的算法，恰恰最接近加法的定義。在遞歸算術中，自然數的加法可以用求繼數的運算來定義。如，求3+2的和，就是求3的繼數的繼數。即在自然數中，從3往后數2個數所得出的5。

毋庸置疑，一段時間之后，學生在算“3+2”時也都形成了“計算自動化”，3+2等于5，都儲存于記憶中。這時，算法已經脫胎于算理。學生學習基本口算就是在頭腦中構建一個“數學事實庫”的過程。繼而完成從構建事實到提取事實的轉化。

我們是否可以這樣理解：最初，學生在口算時，可能有算法而不知算理；后來，知算法而且知算理；再后來，又是有算法無算理。也就是說，在學生學習口算探索與掌握算法的不同時段，他們計算時是否具有算理，經歷了“無——有——無”這樣一個過程。

由此推想，不同的口算內容，算法與算理是否也表現出像這樣脫離、融合、脫胎的不同階段之分呢?

在口算教學時，學生不理解算理，教師需要引導，否則學生的計算只是停留于形式化地計算，他們只是機械地掌握計算程序，知其然，而不知其所以然；但理解算理之后，教師卻不要太多地糾纏于算理。

“一”與“多”

在學習口算兩位數減兩位數44-25時，學生獨立思考之后交流了各自算法。

算法1：44-5=39，39-20=19——把減數分成5和20，從被減數中依次減去。

算法2：40-25=15，15+4=19——把被減數分成40和4，先從40里減去25，再把所得的差與4合并。

算法3：40-20=20，5-4=1。20-1=19——個位上4減5不夠減，還差1，就從十位上減得的差20里去掉1。

算法4：44-24=20，20-1=19——把減數分成24和1，再從被減數中依次減去。

算法5：30-25=5，14+5=19——把被減數分成30和14，從30里減去25得5，再把14和5合并。

算法6：14-5=9，30-20=10，10+9=19——豎式計算的方法。

算法7：十位上，30-20=10；個位上，14-5=9；得數是19——先算十位。再算個位。

算法多樣化是學生獨立思考后自然生成的。細細分析各種算法。算法1和算法4的算理是一樣的，都是把減數分成兩部分，從被減數中分別減去；算法2和算法5的算理是一樣的，都是把被減數分成兩部分，其中一部分減去減數后再與被減數的另一部分合起來；算法6和算法7都是在頭腦中構建豎式，算法6從個位減起，算法7從十位減起。由此可見，就算題本身來說，算法是多樣的，但算理可能相同。

再說一例。學習小數乘法，一組口算練習之后，反饋時發現，有幾位學生在口算20×0.4這一題時出錯了。教師指名一位學生口述算法：先算20乘4等于80。再點小數點：8.0，化簡得8。學生采用的是“類似筆算的口算”。即在頭腦中想20×0.4的豎式并算出得數。教師在學生口述算法的過程中板書：

教師如上板書。是讓學生理解其算法的算理，即應用了乘法中因數變化引起積變化的規律進行口算。

一位學生舉手：我是這樣算的：20xO，4=2×4=8。教師追問：你為什么這樣算呢?學生回答：20xO，4=2×10×0.4=2×4=8。不難發現，這位學生交流的是“分解因數、運用乘法結合律”的方法進行口算。

。

又一位學生舉手：我也是這樣算的：20×0.4=2×4=8。我想的是，一個因數除以10，另一個因數乘10，積不變。如果完整寫出這位學生的算法，就是1.20×0.4=(20÷10)×(0.4×10)=2×4=8。

后兩種算法，如果不去追問思維過程，我們也許會做出“算法相同、算理相同”的判斷，然而，看似相同的算法，其實并不同。但算理卻是相同的。當我們看到的是“一”，也許僅僅是表面形式的相同，其內部蘊含的可能是“多”。學生的思維過程是豐富多彩的?？谒憬虒W中，存在著的一種現象是，教師重結果、輕過程，只滿足于口算正確，不愿花時間去分析學生的思維過程。我們要注意克服這種不良傾向。在口算時，鼓勵學生“用你的腦子去算”，而不僅僅是“在你的腦子里算”。

“有用”與“無用”

對于算理與算法。學生在實際口算時往往更注重算法，因為按其操作即可算出結果。教師關注的焦點是學生要算得對、算得快，至于“為什么這樣算”，往往不夠重視。那算理是“有用”還是“無用”呢?

有這樣一次“意外事件”。由于制作試卷的疏忽，在五年級學習小數加、減法之后的單元測試卷上出現了這樣一道口算題：3.6×0.5，這道題原本應是3.6+0.5。顯然，這樣的算題如何計算學生還未學習。我想了想，決定不改題，看看學生能否獨立探索解決“未學過”的問題。為了解學生具體的思維過程，我讓學生在試卷上寫下口算3.6×0.5是怎樣想的。結果發現：全班47位學生參加測試。有25位學生正確算出結果。其中有10位學生的算法是寫出豎式，用筆算的方法算出結果(對這樣的算法，我又找幾位學生進行交流：為什么積是1.8?學生的回答是：3.6的一半，應當是一點幾；36乘5得180，結果是兩位小數，化簡后是1.8)；有14位學生根據3.6×0.5的意義算出結果，他們的算法是：一個數乘0.5，得數是這個數的一半。3.6÷2=1.8：還有1位學生運用乘法分配律的方法算出結果，他的算法是：先用3×0.5=1.5，再用0.6×0.5=0.3，再用1.5+0.3，就等于1.8。

學生為什么在未學的情況下能算出來?盡管正確算出得數的25位學生未必都理解算理，但可以發現，如果他們理解了算理，那么他們基本上就能正確算出算題。算理有助于學生探索算法。有算法時，不一定能說清算理；但有算理。可以轉化成算法。

又一則例子。口算整百數乘一位數400×2，學生一般的算法是：先算4×2=8。再在8的后面添兩個0。為什么在8后面添兩個0，學生解釋不清楚。教學時。教師要讓學生給自己的算法找一個合理的解釋，在學生解釋的過程中引導學生理解：4個百乘2，得8個百，也就是800。由此，學生可進一步在理解算理的基礎上計算像4000×2、40000×2這樣的算題，而不停留于“照葫蘆畫瓢”式的模仿計算。

綜上所述，算理不是沒有用。而是教師在教學中是否發揮其作用。不要把算理、算法作為“兩張皮”。算理為計算提供了正確的思維方式。保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度。算理往往是隱性的。算法往往是顯性的。它們相輔相成，算理的探討有助于學生探索算法、掌握算法。當然，在口算學習過程中，也要注意避免程式化地敘述算理，對算理的一味推崇容易讓學生陷入空洞抽象說教的泥潭，不過，對算法的過度操練也容易讓學生走向機械重復練習的窠臼。

(作者單位：南京師范大學附屬小學)

調動兒童的“心智”來口算

繆建平

口算，就是“邊心算邊口說地運算”，它是不借助計算工具(如筆、紙)，直接通過思維和語言進行計算并得出結果的一種計算方法?？谒銘撌恰坝媚愕哪X子算”，而不只是“在你的腦子里算”?？谒銜r，計算者要將計算分解成很多的小過程。要將各種信息在頭腦中進行合理的拆分、拼組等，并在短時間內得出正確結果。因此它是一種高級的“心智”活動。通過這樣的心智活動，計算者鍛煉了自己的思維，發展了注意力、記憶力(尤其是短時記憶力)，口算也為個性化、多樣化地解決問題提供了機會。那么，如何調動兒童的“心智”來口算呢?

一、理解與記憶

就整數計算來說，其中的口算通常分為3類：①基本型——一位數加法和相應的減法、表內乘除法。這是筆算乃至所有計算的基礎，要求學生人人過關，不僅要計算正確，而且要求口算答案輸出的“自動化”，即要熟練到能脫口而出的程度。②發展型——兩位數加減整十數、兩位數加減一位數、兩位數加減兩位數和兩位數乘(除以)一位數等。前兩種口算安排在相應的筆算之前進行教學，而后幾種都是在筆算之后再教學。這類口算只要求掌握方法、正確計算，不再有高速度的要求。這類口算不再作為“筆算的臺階”。而是課程中相對獨立的部分。但教師在實際教學中明顯感覺到，如果這一類口算學生也能基本熟練，無疑更加顯示出兒童在解決問題時的優勢和自信。③靈活型——運用運算性質等進行簡便運算。在這一類口算中，計算方法的合理、靈活和簡算意識的強弱即是其數學心智水平高低的主要標志。

在小學數學教學中，大都比較重視長時記憶，而對短時記憶的培養則比較忽視。其實短時記憶對小學生的數學能力的發展有至關重要的意義。比如口算23+19時，就需要短時記憶，如果短時記憶能力較弱。那么在十位上的數相加時，只算2加1的和是3，經常忘掉個位上滿十進上來的1，這在兩位數加兩位數口算訓練的早期是較為常見的現象。

有研究表明，用“工作記憶”代替“短時記憶”能夠更加準確地說明這一部分記憶系統具有動態過程的特征，而不只是靜態的存儲。重要的是，信息在工作記憶進入意識后我們才能處理。如何避免或消除兒童口算中“工作記憶”的錯誤呢?以下3種促進學生理解的策略能有效幫助學生記憶水平的提高：

首先，“復述”策略。研究表明，工作記憶中的信息大約持續半分鐘。如果要將信息加以修正并保存更長的時間，就必須通過復述過程得到重新存儲與更新。如上面的“兩位數加兩位數”口算，如果學生錯了，我們不妨減慢學習材料呈現的速度，并輔之以讓孩子復述其計算過程，進而讓他們自己在口述中知道“十位上要加個位上進的1”，這種個別指導就會大大增加“首因效應”。于是更為復雜的、逐漸積累式并且更加聰明的復述策略就會產生——“如果眼睛瞄到個位相加滿十了，一定要在十位上的兩個數相加時多加1：如果瞄到個位上的兩個數相加不滿十，不必考慮加1”。

其次，“表征”策略。通過多感覺表征，也將會大大提高記憶的效率。現行教材中，試圖通過許多情景圖來進行口算的教學，無疑能幫助兒童“通過解決實際問題加強運算意義的理解”?！稊祵W課程標準》明確指出：“應重視口算，加強估算，提倡算法多樣化。”因此，教師在口算教學中既要努力做“算法多樣化”的引導者。更要做“算法優化”的促進者。

再次，“組塊”策略。有意義的組塊策略是為了克服工作記憶的“有限空間”。有關研究表明，成年人短時記憶只能容納7項信息，兒童工作記憶容量還要小。在這種情況下，必須為兒童提供“認知支架”。比如兒童起初學習小數乘除法的口算時，經常為小數點點錯而苦惱，我們就利用“組塊”來幫助學生認清結果與兩個已知數之間的關系：12×0.4、1.2×0.4、120×0.04、0.12×0.4……4÷5、4+50、0.4÷5、0.4÷0.5……對于除數是小數的除法，還要求他們先把它轉化成除數是整數的除法寫在原式的下方，以減輕“工作記憶”的負擔。漸漸地。學生就會厘清結果與兩個已知數之間的關系及運算規律，加之“估算”能力的同步培養，他們的口算水平也一定會逐步提高。

二、結構與建構

日常的口算教學或口算訓練中，我們經?？梢钥吹竭@樣的做法：教師在課堂之初，總是拿著不斷變換的卡片，不停地進行著口算訓練，以期取得“熟能生巧”的教學效果。但實際情況卻差強人意，原因何在?我們需要反思。

首先，你給學生進行口算訓練時，有沒有一個完整的知識結構呢?如20以內的加法與減法。教材中教學是分課時進行的，我們要做的首先不應該是“打亂”卡片的無序訓練。而是整齊排列的“完整呈現”，這樣的呈現還要不斷地進行，以促進學生對數與數之間加減運算關系理解的不斷深入。因為學生總是通過簡單計算逐步積累數學經驗再形成數的概念與組建認知結構的。如果教者煞費苦心地阻止一種明明無法阻止的形成記憶經驗的做法，即認為這是在進行口算的思維訓練，最終只能是使學生多做題，增強課業負擔，走了彎路，效果卻不佳。

我們曾進行過20以內加減法的對比試驗。一種采用“打亂”卡片的訓練法，一種采用“整體呈現結構化材料”(如下表)，鼓勵學生盡可能記住結果的方法。以下是關于20以內加減法運算的知識結構表。有81對加減法關系。

在上表中，處在AC及其左上的45對數字，都是兩數相加結果等于或小于10的，好差生均能熟練掌握。不是構成口算速度差異的主要原因。構成兒童口算困難的是由AC以下的36對數組成的習題。在這之中，又以BD為界，上下各16對，只是數字調換了位置而已，可以合二為一。BD框中是“對子數”相加的和學生容易記憶，運算也不易出錯。

經過上面的分析，實驗班的老師在進行20以內加減法口算訓練時。只要讓學生將ABD區打“○”中的較為生疏的9對數字關系組成的習題側重訓練，鼓勵學生自然記住運算結果。同時，對口算較慢的學生進行個別指導，他們一般都能跟上全班學生的平均速度，而學生比對比班的至少要少做近100多道訓練習題，學生負擔輕了，但效果卻尤佳。

為什么會取得較好的效果呢?原因就是：結構化的口算訓練材料。讓兒童大腦中形成了20以內的加法口算結果的記憶經驗。這些經驗在復雜的減法口算中遷移，是造成他們比另一些兒童減法口算迅速的主要原因。而減法口算反應慢的學生的大腦中并不是完全沒有可利用的記憶經驗。他們只是對少數幾對二十以內數的減法關系有零碎的記憶經驗或尚未形成完整結構。

三、建模與求簡

口算練習中學生在瞬間要進行各種復雜的思維活動，它要求把算題進行分解、轉換、變式、重組……從而迅速、準確地解答。口算教學的重要任務就是要在引導學生正確解答的同時，培養學生的思維能力，不斷建立新的模式結構；而建立數學模型又可以讓學生更快、更好地解決問題，從而形成良性循環。

引導學生在學習中形成認知沖突，有助于學生建模。比如。在小數除法教后，教者出示了一道7÷25的算式，讓學生筆算，當學生算完后，老師告訴學生：其實這道題，老師一看題目，馬上就能知道得數了!同學們不信，于是老師迅速報出0.28!學生一片嘩然。不行!一定是老師事先算好的。隨便一道試試!老師說：有個要求，除數一定是25，被除數一位數、兩位數都行的!于是有學生出題：9÷25，老師迅速報出0，36 1學生再出題：42÷25，老師迅速報出1.68!學生開始沉思起來，老師于是引導大家一起思考：能不能從25上面去突破呢?漸漸地，同學們知道了：7÷25=(7×4)÷(25x4)=28÷100=0.28。另外兩道題也是同樣的道理，只要把被除數乘4再除以100就行了，真靈!同學們不禁歡呼起來，為自己的探索成功而自豪!于是，老師又出示了一組相關的題目，學生一個個爭先恐后，口算出來了!接著，教者又將之遷移到7÷125，3÷1.25，3.1+2.5這類題目上，同學們也能嘗試著用口算進行計算了……

漸漸地，學生就能在解決問題中把它看成一個整體，直接計算，這就初步建立起了一定的模型。這些初步的模型的建立，通過不斷的完善，就可以幫助學生“從數量關系的角度更準確、清晰地認識、描述和把握現實世界”。

總之，口算技能屬于一種心智技能，心智技能具有簡縮性特征——趨向于合并、省略或簡化。因而，越是思維活動簡約的，其技能越容易形成，復雜的思維活動總是阻礙技能的形成。要想讓口算做到“用腦子去算”而不是“在腦子里算”，就必須引導學生把“靈活運用運算法則、運算性質使計算簡便”的觀念滲透于口算學習的過程中，從而讓學生把運算具體問題的策略上升為一種自覺的簡算意識。

(作者單位：江蘇省蘇州工業園區新城花園小學)

口算題組：在訓練中“增值”

皋 嶺

通過扎實的口算訓練提升口算技能是小學階段學生計算能力訓練的一項重要任務。完成這項訓練任務就必須以口算題為主要訓練載體，讓學生在大量的口算練習中掌握口算方法，提高正確率和速度。而單一二、無關聯的口算題對口算方法的遷移與優化沒有明顯的效用，為此，教者把具有關聯特征的一些口算題編成題組對學生進行訓練，在聯系、滲透以及比較中放大口算題組關聯的特征。讓口算題組在訓練中“增值”。

一、聯系——促進有效遷移

數學知識延伸發展具有前后密切聯系的特點，口算也不例外，復雜的口算都是建立在基本口算的基礎上發展而來的。因此，在新舊口算認知的聯系處進行口算題組訓練，有助于學生理解口算算理，有效獲得口算方法的遷移。

比如：在小數除法口算時出示了這樣的口算題組進行訓練。

600+200= 12÷3= 180÷60= 8÷4=

60÷20=

1.2÷0.3=

180÷6=

8÷0.4=

6÷2=

0.12÷0.03=

18÷6= 0.8÷0.4=

學生經過這樣相關聯的幾組口算練習后，對小數除法口算的算理有所感悟，方法有所理解。第一組題主要是讓學生復習和回顧商不變的規律在簡化口算中的作用；第二組題將商不變的規律擴展到小數除法的口算中進行練習：第三組題對被除數與除數變化引起商變化的規律進行復習與回顧：第四組題運用商不變的規律和商的變化規律靈活解決小數除法口算問題。雖然只有12道口算題組成訓練題組，但所包含的聯系廣泛，從整數除法口算到小數除法口算。從商不變規律到商的變化規律，給學生留下了很大的思考空間，在口算方法和知識的前后聯系中促進了口算能力的有效遷移。

二、滲透——優化口算方法

口算也稱心算，是一種不借助計算工具，只依靠記憶、思維和語言進行計算直接得出結果的計算方法和方式。雖然口算的結果是外顯的，但口算的思維過程即是內隱的。也正因為口算過程的內隱性，所以也就有了口算方法的多樣性。不同的口算方法帶給學生的效率不盡相同。如何讓學生的口算方法在多樣化的基礎上進行優化呢?這就需要教者精心編制口算題組讓學生不斷感悟和優化。

如：在三年級學習口算兩位數加兩位數(和不超過100)時。進行下面題組訓練。

40+50= 36+20= 40+35= 45+50= 45+35=

46+53= 36+22= 44+35= 45+48= 45+37=

訓練中讓學生帶著問題邊思考邊口算：每組中兩道口算題哪一道相對簡單?為什么?這道簡單的口算題對算同一組的另一道口算題有什么啟示?不難看出，每組中的第一道相對簡單。主要是它們中不是含有整十數的加數，就是兩加數的和正好是整十數，口算時需要記憶存取的環節相對較少，口算難度也就相對降低；而每組第二道題的兩個加數都是非整十數，有的還需進位，口算的難度增加。通過這樣的題組訓練，學生從每組兩道口算題的聯系中很快獲得滲透的兩位數加兩位數的各種口算方法，讓學生在口算方法多樣化的基礎上根據加數的特征靈活地運用。

三、比較——增強辨析能力

在口算中，由于受前攝、后攝抑制或記憶表象等方面的影響，學生經常會將一些數量、運算特征相似的口算混淆在一起，分辨不清，從而大大影響了他們口算的正確率。因此，把這些相互干擾的口算題編制成組，對學生進行訓練，就能克服干擾、加深印象，增強學生對易混口算的辨析能力。

如：學生經常會把一些口算中的數量位置看顛倒，或運算順序不正確。面對這種現象。教者出示了下面的口算題組進行對比訓練。

25×4=

15×6= 80-30÷5=

5×5+5×5=

24x5= 16×5= (80-30)÷5= (5×5)÷(5×5)=

再如：通過分數加減乘除的口算題組訓練。幫助學生整理分數四則運算法則之間的區別。

口算題組的比較訓練，有利于學生增強對運算法則與運算順序的理解，同時也有利于學生口算方法的建構。

(作者單位：江蘇省蘇州工業園區第二實驗小學)