數量關系的本質\\作用及教學

摘要：圖式是依據先前經驗把各種相關概念有意義地組織起來的認知模式。數學問題中的圖式的各部分間的關系可概括為數量關系，利用圖式解決問題是問題解決的途徑之一。新課改中的數學問題解決的教學中，仍應該正確認識和恰當發揮數量關系的作用，在把握適度原則的前提下，繼續重視數量關系的教學。

關鍵詞：數量關系

圖式

本質

作用

教學

新課改前的小學數學應用題教學中十分重視數量關系的教學，新課改以來，由于多種原因，數量關系的教學有被弱化或邊緣化的傾向，令許多老師產生了一些疑問：“現在的數學教學還要不要進行數量關系的教學?”“在解決問題教學中如何看待數量關系的作用?”“傳統數量關系教學的優勢如何在當前的教學中發揮其應有的功能?”……面對諸如此類的問題，迫切需要我們對數量關系的教學進行科學的認識。以促進新課程背景下的小學數學有效教學。

一、數量關系的本質

數學問題解決中的數量關系，其本質屬于心理學中圖式的成分之一。心理學中對圖式的概念有多種相似的闡述。它最初是由英國心理學家巴特萊特在1932年提出來的，他將個體積極組織過的過去的反應或過去的經驗稱為圖式。同時，圖式又是著名心理學家皮亞杰認知發展論中的一個核心概念，他認為：“以身體感覺為基礎的基本行為模式，可以視之為個體用以了解周圍世界的認知結構。這種認知結構稱為圖式，也可稱為認知圖式。”圖式就是動作的結構或組織，這些動作在相同或類似的環境中由于重復而引起遷移或概括。圖式最初來自先天遺傳，一經和外界接觸，在適應環境的過程中圖式就不斷變化、豐富和發展起來。圖式經過同化、順應、平衡而逐步構成新的水平，如感覺動作圖式內化以后就成為表象圖式、直覺思維圖式，以至到一定年齡階段，就構成運算思維圖式等。因此，皮亞杰將圖式視為人類吸收知識的基本架構，個體的認知發展或智力發展，均可解釋為個體的圖式隨年齡的增長而產生的改變。

現代認知心理學家魯墨哈特認為，圖式是用來描述一類人、一類客體、一類事件的共同特征的。它就像存在于我們頭腦內部的表示一類事物共同特征的一種“表格”。即圖式是我們頭腦中關于一類客體、事件或情境的一般知識結構，一般由組成部分、各部分的排列順序、各部分間的關系、每部分的變化范圍四種成分構成。圖式有一定的概括性，可應用于多種情境中：代表的是個人所知道的知識；代表的知識是圍繞一定的主題組織起來的，圖式中包含有槽或空位，可由環境中的信息來加以填充、解釋、組織與記憶，還可以使我們超越給定的信息做出預測和推理。腳本和框架都是個體對一類事件、情境的一般化的表征，是圖式的具體例子。如：媽媽到服裝店買衣服，短袖衫每件32元，褲子每條45元。她買了5件短袖衫和6條褲子一共要付多少元?這個問題中的“買衣服”就是一類事件的圖式，“買衣服”一般包括來到服裝店、選擇衣服、算總價、付錢和找錢等幾件事，隱含其中的與問題解決有關的各部分數量之間的關系是“買5件短袖衫的錢+買6條褲子的錢=一共要付的錢”，當然，其中還有“付出的錢一買衣服的錢=找回的錢”這一數量關系，如果學生不熟悉這些，對解決此類問題是不利的。

在小學數學問題解決中，圖式集中體現為學生掌握不同類型問題的結構。我們在教學中常常把這種結構中各部分數量之間存在的關系概括為數量關系，其文字表達就是數量關系式，數量關系在解決數學常規問題中具有重要作用。如“求一個數的幾倍是多少”的數學問題：“學校舉行運動會。三年級有56人參賽，五年級的參賽人數是三年級的4倍。五年級有多少人參賽?”這樣的題型就可以看作一個圖式，它有兩個變量：一個數和倍數。它們間的數量關系式是：“一個數×倍數=幾倍數”或“一倍數×倍數=幾倍數”。學生掌握了這樣的數量關系，解答此類問題就十分快捷。而且，這兩個變量是可以不斷變化的。

二、圖式在問題解決過程中的作用

心理學家早就將問題解決看作一個過程。認知心理學家吉克在1986年提出了一個問題解決過程的模型：

該模型突出了問題解決過程的兩大特點：一是問題解決的過程不是線性的，是一個經歷由失敗到成功的反復進行的過程，在問題未得到解決時，可能會導致新的問題解決。二是問題解決方法的形成有兩條途徑。第一條途徑是在建構了問題的表征、激活了正確的圖式后，就不必探索嘗試多種方法而能夠明顯地解決問題了。第二條途徑是問題解決者沒有可以利用的圖式。必須通過對各種方法的搜索檢驗才能找到合適的解決方法。由此我們可以明顯地看出圖式在問題解決中的重要作用，對解決學生曾經經歷過的類似的數學問題時。學生只要激活已有的圖式(主要是利用已有的數量關系)解決問題就行了。無需再經歷第一次解決此類問題的探索過程。但是，從加涅有關問題解決的觀點看，第一條途徑嚴格說來不是解決問題，第二條途徑才是加涅認為的創造即解決問題。根據這些我們不難解釋各地反映出的新課改以來關于學生解決問題能力情況的矛盾結論。部分老師根據學生解決問題的測試分數降低了，認為現在的學生解決問題的能力下降了。其實分數下降只能說明由于數量關系教學弱化后學生利用第一條途徑解決問題的能力下降了。而新課程重視培養的是學生利用第二條途徑解決問題的能力，所以，部分老師測試的結果是學生解決問題(尤其是非常規問題)的能力提高了，原因就在于此。

三、新課改數學教學中的數量關系教學

新課改下的數學教學。仍然應該吸取課改前數量關系教學的成功經驗，在把握適度原則的前提下，繼續重視數量關系的教學。這是因為，研究數量關系是數學學習的本質要求，新課改數學中的數量關系，已經不再局限于解決問題的教學，它已經在數感培養、符號意識、數學建模、幾何圖形、問題解決等多領域的學習中都起有重要作用；同時，利用圖式中的數量關系分析問題，也是解決問題尤其是常規問題的簡捷途徑。‘而且，要實現解決問題中從“抽象出的數學問題”向“解決問題方法”的轉化。“全面分析數學問題中的數量關系”是十分重要的環節。因此，新課改下的小學數學教學仍然應該重視數量關系的教學。主要應該把握好這樣幾點：

1 注重數量關系的積累和歸納。四則運算的意義是歸納數量關系的基礎。在解決問題的教學中，教師要充分領會教材的編寫意圖，引導學生將幾個同類情境中的問題與運算意義相聯系，充分經歷思考與體驗的過程，在學生思考情境中的問題與數學意義的聯系中，潛移默化地滲透基本數量關系的教學，順利實現對數量關系的積累和歸納。為學生解決問題能力的發展奠定堅實的基礎。

2 注重基本數量關系的抽象概括與應用。“單價×數量=總價”、“速度×時間=路程”、“工作效率×工作時間=工作總量”等基本的數量關系，具有高度的概括性和廣泛的應用價值，它們是概括性的陳述性知識，是陳述性知識的精華。教師應該結合具體的問題情境幫助學生正確理解，并在此基礎上通過抽象概括，進行變式運用，逐步實現數量關系的結構化遷移和記憶，對提高學生解決問題的能力發揮良好作用。

3 與解決問題方法策略的學習有機結合。數量關系的學習和運用，應該緊密結合解決問題的過程進行，并可以和解決問題的方法策略結合在一起進行教學，如在運用綜合、分析、畫圖等策略解決問題的過程中，都可以與數量關系的教學相結合。在具體解決問題的過程中，數量關系與方法策略都對問題解決起重要作用，將分析數量關系和運用解決問題方法策略的有機結合。就能夠在兩者的共同作用下幫助學生順利找到解決問題的途徑。

4 防止數量關系學習中的不良作用。可以借鑒課改前的一些做法，適當進行數量關系的訓練，但無需像過去那樣將數量關系概括得過細過死，似乎解決每道題都離不開數量關系。

數量關系的教學已經滲透到數學學習的諸多領域，尤其在數學問題解決的學習過程中，數量關系更發揮著重要的作用，它是學生有效解決數學問題的工具之一。故只要我們在正確認識數量關系教學的本質和教學中利弊得失的基礎上，恰當進行數量關系的教學，就一定能夠讓數量關系在小學數學教學中發揮應有的作用，促進學生數學素養的全面提升。

參考文獻：

[1]王小明著：《學習心理學》，中國輕工業出版社，2009年2月版。

[2]林崇德著：《我的心理學觀》，商務印書館，2008年10月，76-77頁。

[3]張春興著：《教育心理學》，浙江教育出版社，1998年5月版，86-87頁。

[4]江蘇省教委教研室：《六年制小學應用題手冊(內部資料)》，1989年5月。

(作者單位：江蘇省江陰市英橋國際學校)