例談“三角形內(nèi)心問題”的解題策略

在數(shù)學(xué)問題研究過程中經(jīng)常碰到三角形的“四心”——內(nèi)心、外心、重心、垂心的問題，有些學(xué)生遇到這類問題時(shí)，對這“四心”概念的理解不夠清楚，也不能運(yùn)用它們的性質(zhì)來進(jìn)行解題。本文將對在圓錐曲線復(fù)習(xí)過程中所遇見的“三角形內(nèi)心問題”的常見類型進(jìn)行分類解析。

1.利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理:三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例。

例1如圖1，已知橢圓+=1(a>b>0)的左右兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為e，點(diǎn)P為橢圓上的點(diǎn)，I為△PF1F2的內(nèi)心，延長PI交F1F2于點(diǎn)M，則 。(用e表示)

分析:由于點(diǎn)I為△PF1F2的內(nèi)心，故F1I為△PF1M中的∠PF1M的平分線，則可依據(jù)內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，點(diǎn)I把邊PM分成的兩段|PI|與|IM|的比等于夾∠PF1M的對應(yīng)兩邊之比，即|PI|∶|IM|=

|PF1|∶|MF1|，同理還可得|PI|∶|IM|=|PF2|∶|MF2|，接下來只需依據(jù)橢圓第一定義及合分比性質(zhì)即可解答本題。

解:∵點(diǎn)I為△PF1F2的內(nèi)心， ∴F1I、F2I分別為∠PF1F2、∠PF2F1的內(nèi)角平分線，

利用內(nèi)角平分線性質(zhì)可得:==，

由合分比性質(zhì)得:===。

小結(jié):在解此題時(shí)很多學(xué)生可能會出現(xiàn)無從下手的狀況，或者利用點(diǎn)P、F1、F2的坐標(biāo)來求點(diǎn)I的坐標(biāo)，再求|PI|∶|IM|，此法計(jì)算繁雜，而且不一定能達(dá)到目的，但利用內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解此題，則簡捷而且準(zhǔn)確易懂。

2.利用三角形內(nèi)心性質(zhì):三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，且均等于其內(nèi)切圓的半徑。

例2如圖2，已知P是橢圓+=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是該橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)。若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑r為，則#8226;的值為 。

分析:由于內(nèi)心I到△PF1F2的三邊距離相等為r=，故可依據(jù)S△PF1F2=S△IF1F2+S△IPF1+S△IPF2=(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)×r來解此題。

解:設(shè)P(x，y)，∵S△PF1F2=S△IF1F2+S△IPF1+S△IPF2=(|F1F2|+|PF1|+

|PF2|)×r，

∴|F1F2|×|y|=(2c+2a)×r， ∴ 2|y|=(2+4)×， ∴|y|=。

∴P(±1，±) ， ∴#8226;=。

小結(jié):本例實(shí)質(zhì)是抓住了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，運(yùn)用等面積法求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得PF1、PF2的值，從而問題得以解決。

3.利用圓的切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等。

例3如圖3，已知F1、F2分別是雙曲線-=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，且△PF1F2的內(nèi)切圓C交實(shí)軸于點(diǎn)M，則|F1M|#8226;|F2M|的值為()。

A.b2B.a2

C.c2D.

分析:如圖3，設(shè)三個(gè)切點(diǎn)分別為G、M、H，把P、F1、F2看成內(nèi)切圓C外的三點(diǎn)，根據(jù)切線長定理有|PG|=|PH|，|F1G|=|F1M|，|F2H|=|F2M|。

解:如圖3，設(shè)三個(gè)切點(diǎn)分別為G、M、H，易知|PG|=|PH|，

|F1G|=|F1M|，|F2H|=|F2M。

∵P為雙曲線右支上一點(diǎn)，

∴|PF1|-|PF2|=(|PG|+|F1G|)-(|PH|+|F2H|)=|F1G|-|F2H|=|MF1|-|MF2|=2a。

∴點(diǎn)M為原雙曲線右支上的點(diǎn)，又M為實(shí)軸上的點(diǎn)，∴點(diǎn)M為右頂點(diǎn)。

∴|F1M|=c+a，|F2M|=c-a，∴|F1M|#8226;|F2M|=c2-a2，故應(yīng)選A。

小結(jié):(1)此題的解決是充分利用了圓的切線長定理，確定了點(diǎn)M就是右支上的右頂點(diǎn);(2)此題把點(diǎn)P放在左支上，可得結(jié)論一致，即點(diǎn)M為左支上的左頂點(diǎn);(3)此方法還可解決橢圓中相關(guān)問題。◆(作者單位:江西省南城縣第一中學(xué))

□責(zé)任編輯:周瑜芽