導(dǎo)數(shù)應(yīng)用常見錯誤例析

導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及曲線的切線等方面有廣泛的應(yīng)用。為了提高解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題的正確率，根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中常見的錯誤作以剖析，希望在對學(xué)生導(dǎo)數(shù)部分的復(fù)習(xí)時有所借鑒。

一、定義理解不準(zhǔn)確

例1:已知函數(shù)■，則

■

誤解:■原式=■-1

剖析:在導(dǎo)數(shù)的定義中，不論■選擇那種形式，相應(yīng)■中也必須選擇對應(yīng)的形式，即上述用導(dǎo)數(shù)定義求解的過程中，■中的增量為3■，則分母也應(yīng)為3■。

二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用有誤

例2:求曲線■，過點(diǎn)A(0，-32)作曲線■的切線，求曲線的切線方程。

誤解: ■

曲線的切線的斜率為:■

曲線的切線的方程為:■

剖析:本題錯在對導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解有誤，切線的斜率應(yīng)是在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，而點(diǎn)A(0，-32)不在曲線上。故本題應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，在求斜率而后才能寫出切線方程。

三、將極值與最值混為一談

例3:求函數(shù)■在-3，3上的最大值與最小值

誤解:■

令■得:■或■。

經(jīng)驗(yàn)證:■1均為極值點(diǎn)，即■為極大值。■為極小值，

∴■， ■。

剖析:本題把極值當(dāng)成最值從而產(chǎn)生誤解。極值只是在■附近的最值，而非在某個區(qū)間上的最值。要求■在某個區(qū)間上的最值，還應(yīng)將極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較，最大的為最大值，最小的為最小值。

四、求單調(diào)區(qū)間而忽視定義域

例4:求函數(shù)■的單調(diào)區(qū)間。

誤解:■‘令■’解得:■。

令■，解得:■。

∴函數(shù)■的單調(diào)增區(qū)間為■，

單調(diào)減區(qū)間為■。

剖析:在解與函數(shù)有關(guān)的問題時，應(yīng)先求其定義域，然后在其定義域內(nèi)研究有關(guān)問題。而本題的錯誤恰在忽視了定義域。顯然當(dāng)■>■時，2-3■<0函數(shù)無意義。

五、“駐點(diǎn)”等同于“極值點(diǎn)”

對于滿足■的點(diǎn)■稱為駐點(diǎn)，■只是點(diǎn)■為極值點(diǎn)的必要而非充分條件，具體的講，■要為極值點(diǎn)不僅■而且在■兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值還應(yīng)異號。

例5:函數(shù)■的極值點(diǎn)為 ( )

A. ■=1 B.■=-1

C. ■=1或■=0或■=-1D.■=0

誤解■

由■+6■得極值點(diǎn)為:■=0和■=±1。

剖析:這三點(diǎn)都是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但不全是極值點(diǎn)。

正解:■知

當(dāng)■時，■，當(dāng)■時，■;

當(dāng)■(0，1)時，■>0，當(dāng)■(1，+∞)時，■<0。

故，■在■上單調(diào)遞減，在■上單調(diào)遞增。

∴■=0為極小值點(diǎn)，故應(yīng)選D。

(作者單位 陜西省清澗中學(xué)) 責(zé)任編輯楊博