中學數學學習中常見錯誤分析

一、 概念錯誤

1.理解概念片面、機械，存在形式主義

例1 初中一年級學生學習了用字母表示數之后，誤認為-2a<0，a>a等。這是學習有理數大小比較之后產生的負遷移。

例2 由于對算術根、算術平方根及根式運算法則掌握不確切，理解片面，常出現下面的錯誤:

+=x-2+3+2x=1;

#8226;===±3。

2.對概念的定義掌握不確切

例3 在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD內，過AB的三等分點R、P作PQ∥RS∥AD，再過RS與A1D1作截面A1D1SR，過PQ、B1C1作截面B1C1QP，求這兩個截面間所夾的幾何體RPQS-A1B1C1D1的體積。(圖1)

解:由于矩形PQSR的面積為，

又底面A1B1C1D1的面積為a2，上下底

面的距離B1B=a2，由棱臺體積公式得

V=a(+a2+)=a3。

但從另一角度考慮，所求體積是從原正方體的體積減去兩個三棱柱的體積，得其體積為a3-2=a3-。

上面兩種答案那個對呢?顯然第二種算法沒有漏洞，問題在于RPQS-不是棱臺，而是擬柱體，故第一種解法是錯誤的。

3.混淆概念

例4 有乒乓球運動員11人，其中男運動員5人，從中選出4 人進行男女混合雙打練習，配對的方法有多少種?

解:從5名男運動員中選出2人，有C25種，從6名女運動員中選出2人有C26種，選擇出的4人又分兩對，有C24種，由乘法原理共有C25C26C24種配對方法。

這是排列與組合的混合題，上述解法把它當成組合問題是錯誤的，正確答案是C25C24P22。

二、 推理錯誤

1.偷換論題

論證時可能出現兩種偷換論題的錯誤。一是由于理解題意不準確，另一種是把論題中特殊情形代替了一般理論。

例5 拋物線方程y=x2，有一個半徑為1的圓，圓心在x軸上運動，問這個圓運動到什么位置時，圓與拋物線在交點處的切線互相垂直。

這是一道高考題，不少考生把“圓與拋物線的切線相互垂直”理解為“圓與拋物線有兩個交點，過這兩個交點的拋物線的切線相互垂直”，這就犯了偷換論題的錯誤。

例6 試證圖2頂點在平等四邊形上的三角形的面積，不可能大于這個平等四邊形面積的一半。

證:

S△ABC=AB#8226;CH≤DE#8226;CH

=S?荀DEFG。

所以命題成立。

上述證明沒有錯誤，但不完整，因沒有討論三角形位置的所有情況，因而依據不充分。

這類錯誤在幾何證明中經常出現，學生把圖形畫成特殊情形，從特殊情形的條件出發來證明一般的結論。

2.循環論證

例7 證明勾股定理c2=a2+b2。如圖3。

證:a=c#8226;sin A，b=c#8226;cos A?圯a2+b2=

c2(sin2 A+cos2 A)=c2

論證中利用sin2 A+cos2 A=1作為論據，按現行教材體系，這個公式是由勾股定理推出的，故為循環論證。

3.論據不真

例9 已知與是無理數，試證-也是無理數。

證:因為兩個無理數之差是無理數，故-是無理數。

顯然，論據“兩個無理數之差是無理數”是假命題，因此是虛假論證。◆(作者單位:江西省贛州市第一中學)

□責任編輯:包韜略