一次成功的數學建模啟蒙

數學模型是針對某種事物系統的特征或數量依存關系，采用數學語言，概括地表述出的一種數學結構。這種數學結構是借助于數學符號刻畫出來的某種系統的純關系結構，它是實際事物的一種數學簡化。數學建模是對實際問題進行抽象、簡化，建立數學模型，求解數學模型，解釋驗證的過程。它要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題。在小學數學教學過程中，對學生初步滲透數學建模思想和方法是否可行呢?全國名師賁友林執教的五年級“找規律”一課，讓我們從中找到了答案。

【片段一】數字編號——模型準備

(出示問題如圖1)

師:根據要求，你想拿哪兩張天文臺參觀券呢?

生1:我給參觀劵編上號，可以拿1號和2號，也可以拿2號和3號。

生2:不管拿哪兩張，只要號碼相連就行。

(結合學生回答，屏幕顯示“連號”二字改變顏色)

師:剛才幾位同學在敘述時，把這些參觀券編號1、2、3等，這樣，交流也就方便多了。這是很有價值的想法。

(屏幕演示:10張參觀券上標注1～10，參觀券淡化，閃爍出示方框，用紅框框住1和2)

師:這樣，框住相鄰的兩個數，也就相當于拿第1張、第2張天文臺參觀券。剛才3位同學談到了3種拿法，還有不同的拿法嗎?如果我們進一步探討，就可以進一步提出問題:一共有多少種不同的拿法?

【賞析】學生將參觀券用數進行編號，這個簡單的行為從數學建模的角度來看，是學生在了解問題的現實背景、明確實際意義、掌握對象的各種信息的基礎上，根據問題的特征和目的對天文臺參觀券進行簡化，并用精確的數學語言——編號來描述。盡管學生是下意識地這樣做，但卻反映了學生具有數學“簡化”的潛意識，這恰恰是數學建模的第一步——模型準備。

【片段二】簡化思維——模型假設

師:你能解決這個問題嗎?請每位同學獨立想一想怎么拿，可以寫一寫怎么拿，有多少種拿法;也可以借助材料紙上的數，用筆框一框、圈一圈、連一連。試一試能找到多少種不同的拿法?

(學生思考并在課件上演示，用鼠標按住紅框依次平移，探索后匯報并完成列舉式板書)

生:一共有10張參觀劵，每次拿相連的2張，有9種拿法。

師:如果要拿3張連號的券，一共有多少種不同的拿法?

(學生思考并再次在課件上演示，用鼠標按住紅框依次平移，探索后匯報)

生:一共有10張參觀劵，每次拿相連的3張，有8種拿法。

師:讓我們一起回顧一下拿券的過程。

(教師課件演示紅框向右平移，每移動一次，紅框內對應的第一個數閃爍)

師:框在最左邊，是第一種拿法，以1打頭;平移方框，2、3、4，第2種拿法，以2打頭;3、4、5，第3種拿法，以3打頭;繼續平移……8、9、10，以8打頭，有8種拿法。紅框每平移一次，拿法也就與打頭的數一一對應。

生:拿參觀劵時以幾打頭，就有幾種拿法。

【賞析】學生在編號的基礎上，通過“寫一寫、框一框、圈一圈、連一連”等不同的操作活動，探索出有9種拿法。賁老師引導學生進一步思考“如果要拿3張連號的券，一共有多少種不同的拿法”。學生不僅根據剛剛獲得的解題經驗得出有8種拿法，而且結合課件的演示，依據實際“拿”的過程抽象出“以幾打頭，就有幾種拿法” 。這是學生循序漸進對思維過程作進一步簡化的結果。其實，這就是根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。

【片段三】反思過程——模型分析

師:讓我們再回頭看剛才拿兩種連號的券的問題。

(學生課件演示紅框向右平移，每移動一次，紅框內對應的第一個數閃爍)

師:方框最后框的是9、10，打頭的數是9，對應的拿法有9種。

生:如果拿3張連號的券，方框最后框的是8、9、10，打頭的數是8，拿法有8種。

師:如果拿4張連號的參觀券呢?有沒有簡捷的方法，找到有幾種拿法呢?

生:10-(4-1)=7(種)。

師:能解釋嗎?

生:10個數中，不能打頭的有3個，所以有7種。

師:解釋得清楚嗎?大家聽明白了嗎?真會思考，簡單高效!掌聲感謝他的發言。讓我們看拿3張券的問題，如何列式?

生:10-2=8(種)。

師:為什么這樣列式呢?

生:不能打頭的有兩個數。

師:拿兩張券呢?

生:10-1，不能打頭的券有1張。

師:打頭，多好的說法，給我和大家很多啟發。讓我們也用掌聲感謝她!有幾種拿法，我們可以算出來。還有不同的方法嗎?

(學生演示:將紅方框從框1、2、3、4平移至框7、8、9、10)

師:平移紅框，框住7、8、9、10，這樣，我們就能找到一共有7種拿法。這也是一種簡捷的方法，可以看出來。回頭看一看，大家經過探索，現在應用的方法有:一一列舉;觀察找方框中和拿法對應的數;還可以列式計算。

師:如果拿5張劵、6張券，分別有幾種拿法?

生:如果拿5張劵有6種拿法，拿6張券有5種拿法。

師:說說你是怎樣想的?

(學生到講臺前演示，首先把紅框從框1、2、3、4、5移至框6、7、8、9、10)

生1:框住6、7、8、9、10，就知道了拿法有6種。

生2:也可以列式:10-4=6(種)，因為不能打頭的數有4個。

生3:拿6張券，最后框住的是5到10，有5種拿法。

師:你說得真好!這是我們在解決問題過程中發現的規律。

【賞析】賁老師適時地引導學生對兩次問題解決的過程進行反思:在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻畫各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構，學生在解決問題的過程中做到了簡單高效，能發現并描述規律，表明學生的數學模型已經建立。學生能利用獲取的數據資料，如一共有多少張券，每次拿幾張連號的券，對模型的所有參數作出計算得到一共有多少種拿法，成功地利用模型求解。賁老師及時引導學生對所得的結果從數學上進行分析與解釋，實際上就是引導學生進行模型分析。

【片段四】打破平衡——模型優化

師:我們繼續改編題目，會怎樣改編呢?

生:拿7張券有幾種拿法?

師:是這樣改嗎?請看屏幕。

(出示圖2)

師:如果有15張天文臺參觀劵，要拿兩張連號的劵，一共有多少種不同的拿法?想一想，這道題目與前面探討的問題有什么不同?

生:拿的總張數變化了。

師:你能解決這個問題嗎?同桌之間互相說一說怎樣想。

生:有14種拿法，可以計算15-1=14(種)。

師:如果是150張參觀券呢?

生:有149種拿法，根據規律計算150-1=149(種)。

師:題目在變，規律不變，我們解決問題的方法也不變。

【賞析】在這個教學環節中，賁老師以改變題目的形式不斷地打破學生的思維定勢，逐步將其思維引向深入。學生的思維經歷了模型準備、模型假設、模型建立、模型求解與模型分析的過程，此時，思維要達到一個動態的平衡必須再次進行數學模型的優化。

【片段五】解決問題——模型應用

1.解決花邊設計問題。(教師先出示沒有標數字的圖3，在學生數花邊有多少方格后，教師將圖3變化成圖4)

師:這道題有什么變化?

生:圖4標上了數字，這樣更便于解決問題。

生1:(一一列舉)有12種蓋法。

生2:(列式計算)13-1=12種。

師:解決這個問題，你有什么收獲?

生:花邊方格內沒有數，我們可以給它標上數。這樣，就和前面的問題一樣了。

師:我和你有同樣的想法，標注數字之后，問題也就轉化成了我們前面解決過的框數字的問題了。再看這樣一個問題。

2.解決長假旅游問題。

師:賁老師在“十一”七天長假期間，想帶女兒參加“泰山三日游”，哪3天去呢，賁老師共有多少種選擇?

生:根據剛才的規律計算，有5種選擇。

【賞析】賁老師在教學例題和“試一試”時，學生的思維經歷了完整的數學建模過程，獲得了初步的數學建模能力。在此基礎上，再引導學生相對獨立地解決實際問題，這些必要的拓展與應用練習能促進學生思維的正向遷移，使其思維多次經歷數學建模的全部過程，有效地鞏固數學建模能力，強化數學建模意識，讓他們體會、領悟數學建模思想。

綜觀全課，在賁老師的引導下，學生在解決實際問題的過程中發現規律，對規律的理解與把握由淺入深，逐層深入，學生的思維在平衡與失衡的交替中呈現明顯的螺旋上升的發展趨勢。從數學建模的角度觀照學生思維發展的軌跡，其思維經歷了模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析和模型優化的過程。從這節課可以看出，在小學階段實行初步的數學建模教學是可行的，對小學生進行數學建模思想的啟蒙是很有必要的。(作者單位:江蘇省興化市安豐實驗小學)■

□責任編輯 鄧園生

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