用有效的教學策略突破教學難點

學數(shù)學中很重要的一點就是理解數(shù)學，而不是背數(shù)學或機械地做數(shù)學。學生應該怎樣學，教師應該怎樣教，才能使數(shù)學學習成為有意義的、理解性的學習呢?有經(jīng)驗的教師在教學中都會有許多特殊的教學策略，特別是在突破教學難點時。下面，筆者結合若干教學案例，談談如何用有效的教學策略突破教學難點。

一、借助形象直觀的表示促進理解

借助形象直觀的表示促進理解這一策略可以說是被數(shù)學教師普遍接受的策略，無論他們是教什么年級的，或者是教多么復雜的內容。認知心理學家們一般認為，信息在大腦中儲存的方式直接影響信息提取的難易。信息可能以各種感覺性質的代碼儲存，也可以以符號、語義或情緒性質的代碼儲存。對信息采取語言和表象的兩種編碼稱為“雙重編碼”。研究表明，憑借雙重編碼，符號、語義的信息才能夠比較容易提取。不同表征的儲存特征給我們的啟示是，教學中為了幫助學生更好地理解知識，要能夠充分喚起學生的視覺表征能力。直觀教具和直接的經(jīng)驗是引起視覺表征的主要刺激，想象的發(fā)揮也是視覺表征產(chǎn)生的有效途徑。教師用形象性的教學語言來喚起學生的視覺表象，同樣會產(chǎn)生雙重編碼的功用。由于直觀形象所反映的事物之間的聯(lián)系是學生所熟悉的，因此，教師通過圖形、圖像或圖示能啟迪學生的思維，一些抽象、概括的或難理解的數(shù)學結論或問題通過這些形象直觀的表示有時會變得一目了然，更容易理解。

例1 對于完全平方公式的理解，有一些學生常常記不住。如果學生理解它的含義的話，其實，這一公式并不需要特別地去記憶。有經(jīng)驗的教師會告訴學生，當實在記不住的時候，其實是可以通過多項式的乘法法則，或者多次使用乘法對加法的分配律把這個公式構造出來的:

(a + b)2 =(a + b)(a + b)

= a×a + a×b + b×a + b× b

= a2+2ab+b2。

或者(a + b)2 =(a + b)(a + b)

=(a + b)×a + (a + b)×b

= a×a + b×a + a×b + b×b

= a2+2ab+b2。

而除此方法之外，還可以使用如下的圖形表示，既可以幫助學習理解這個公式，又可以通過讓學生回憶這個圖形而回憶起這個公式。

通過這個幾何圖形，我們可以看到，因為整個大正方形的面積是(a + b)(a + b)，而這個大的正方形也可以看做是四個部分組成的，分別是兩個正方形和兩個長方形，它們的面積之和為a2+ab+ab+b2，由此我們可以得出，(a+b)2 =a2+2ab+b2。

例2 在幾何或代數(shù)學習中所涉及的概念很多，但它們之間又是有密切聯(lián)系的，通過樹狀圖揭示出概念與概念之間的關系，將有助于學生學習或復習學過的一些數(shù)學概念，在頭腦中形成良好的認知網(wǎng)絡。在下面的樹狀圖中，一個是揭示各種數(shù)的關系的圖示，一個是揭示各種幾何概念關系的圖示。

像這樣的樹狀圖(也稱二叉樹)非常實用，是幫助學生理解數(shù)學的有效工具。面對兩個或兩個以上的選擇或可供選擇的機會時，用二叉樹可以幫助學生記錄先選擇的是什么，后選擇的是什么。把這樣一個有序思考的過程向學生展示清楚，當學生掌握這個方法后，就可以保證結果的不重復不遺漏，有利于這類問題的正確解決。

二、通過數(shù)學模型和實驗促進自主探索和抽象思維

數(shù)學家們不斷地從一些實物模型出發(fā)建立一些能幫助我們更直接地研究數(shù)量關系和空間形式的抽象模型。比如說，利用一次函數(shù)來研究具有線性關系的實物模型;在單價不變的情況下，總價與數(shù)量之間的正比例關系;在速度一定的情況下，距離和時間的正比例關系;在加速度不變的情況下，距離與時間之間的關系，等等。實物模型的作用使我們能借助這個素材、情境幫助我們理解問題，而抽象模型的作用使我們能舍棄問題中一些無關的因素，抓住其中具有關鍵作用的數(shù)量關系或空間形式簡化問題，從而更有效地表達問題、分析問題和解決問題。事實上，現(xiàn)代的數(shù)學教學觀十分強調數(shù)學學習應以“問題情境—建立模型—解決問題—拓展應用”的模式加以組織。為了建立模型，學習者需要通過數(shù)學實驗去收集數(shù)據(jù)、猜測、推理、驗證等一系列探索的活動，因此通過數(shù)學模型和實驗促進自主探索和抽象思維便成為數(shù)學教學中一個十分有用的教學策略。

例3 建立概率的面積模型

探索性問題:一個袋子中有3個橙色的彈子和2個藍色的彈子。你從中取一個，然后把它放回袋中，再取第二次。

請分析下列四個方法中哪一個適合于發(fā)現(xiàn)實驗中可能的結果:(1)樹狀圖;(2)列名單;(3)面積模型;(4)列表格。

學生通過分析會發(fā)現(xiàn)，樹狀圖、列名單、列表格等方法雖然都可用，但與面積模型比較，這些方法就顯得麻煩些。

從上圖我們可以看到，利用面積模型可以較為簡便地發(fā)現(xiàn)抽取出兩個藍色彈子的概率為40%×40%=16%，同時在其中也讓學生自然體會到面積模型與分數(shù)乘積的聯(lián)系。

此外，讓學生通過動手操作在活動中學習數(shù)學，也是非常重要的一個教學策略。學生學習數(shù)學不僅需要動眼睛看，仔細地去觀察，還需要動手做，親身地去操作。在數(shù)學教學中，必須通過學生主動的活動，包括觀察、操作、實驗、猜測、驗證、收集整理、描述、畫圖、推理、反思、交流和應用等，讓學生親眼目睹數(shù)學過程形象而生動的性質，親身體驗如何“做數(shù)學”、如何實現(xiàn)數(shù)學的“再創(chuàng)造”，并從中感受到數(shù)學的力量，促進數(shù)學的學習。通過動手性很強的活動，學生不僅可以加深對數(shù)學的理解，同時也有利于提升他們對數(shù)學學習的興趣。多為學生提供動手操作的活動機會，教師會驚奇地發(fā)現(xiàn)學生愿意樂此不疲地從事這樣的數(shù)學活動，并十分興奮地與同伴分享他們創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的喜悅。(作者單位:北京師范大學)■