于簡單之中見深度

“數學廣角”是人教版教材編寫的一個亮點，也是一種新的嘗試。它系統而有步驟地滲透數學思想方法，把重要的數學思想方法通過學生可以理解的簡單形式，變成生動有趣的事例呈現出來。在教學“植樹問題”時，特級教師劉永寬通過整合教材，將原本比較復雜的問題類型濃縮到一個簡單的情境中，有效地將數學思想巧妙地滲透于學生的學習活動之中，讓學生經歷解決問題的全過程，從而自然地在交流中感受到數學問題和解決方法的多樣性。在劉老師的課堂上，沒有繁縟的教學手段，也鮮見學生激烈的爭論，但在師生之間看似隨意而平淡對話中，卻讓人品味出課堂活動由淺入深、層層推進的探究味。于簡單之中見深度，這是劉老師的課堂帶給我們的最大啟示。

【片段一】開放問題，引發個性探究

(教師直接出示:在一條長20米的小路的一邊植樹，每隔5米栽一棵，可以栽幾棵?)

師:同學們可以在草稿紙上畫一畫，也可以列式算一算，兩個都不需要的可以直接做。

(學生獨立嘗試并交流方法)

生1:20÷5=4，20米是路長，每隔5米種一棵，可以種幾棵要用除法計算。

生2:我不同意他的想法，種樹要頭尾都種，所以還要再加上1棵，應該是20÷5+1=5。

師:兩種不同的想法，你們自己來判斷吧!有誰是通過畫圖來解決問題的?

(一個學生主動上來，邊畫圖邊解釋:這樣栽一共要栽5棵)

師:你們聽明白他的講解了嗎?我們也像他一樣來種種?

(教師分步演示種樹的過程，學生集體跟著說出算理)

師:為什么一個同學是20÷5，而另一個是20÷5+1呢?20÷5=4算出的是什么?

生1:4是4段，5米是1段，20米共有4段。

生2:4是4個間隔。(教師板書:間隔)

師:什么是間隔呢?它同樹有什么關系呢?我們再來看看圖。(教師再次用課件分步演示)一棵樹對著一個間隔，到了最后一棵，還有沒有間隔?

生:沒有了，棵數必須比間隔數多1。(教師板書:棵數=間隔數+1)

師:好，剛才同學們兩頭都栽(板書:兩頭都栽)，一共栽了5棵樹。如果要栽4棵樹，可以怎樣規定?

生:那就開頭不栽，或者是結尾不栽好了。

師:怎么回事?你上來給大家講講。

生:有可能路的一邊是一堵墻，就像這樣。(學生畫出示意圖:)

師:同學們，這樣只栽一頭的情況存在嗎?間隔數和棵數又有什么關系呢?

生:這種情況是有的，如果路的一邊是房子就只能栽一頭，棵數就等于間隔數了。(教師板書:只栽一頭，棵數=間隔數)

師:看來在植樹的問題上，還有這樣幾種不同的情況，仔細想想，還會出現什么情況?

生:兩頭都有墻。

師:那栽幾棵呢?

生:只能栽3棵。

師:是嗎?你來試試。(學生畫出示意圖:)

(師生共同總結，板書:兩頭不種，棵數=間隔數-1)

師:同學們，別看植樹很簡單，其實包含的知識很豐富。閉上眼睛想一想我們植樹要碰到的3種情況，當兩頭都要栽的時候，怎樣求棵數?只栽一頭的時候，怎樣求?兩頭都不栽又怎樣求?

【賞析】對于“植樹問題”這個學生看似熟悉卻又缺乏系統認識的內容，劉老師并沒有按照教材的安排將知識點分例題進行教學，而是從學生的認知起點出發，以一個開放的問題導入，激發其自主探究。學生通過畫圖、列算式等形式展現了自己對問題的個性化理解，課堂自然地產生了教材中預設的3種情況。基于學生的這些研究素材，劉老師抓住主要問題，將原本分散的知識有機地組合成一個整體，引導大家通過討論自主地發現了各種情況之間的聯系和區別，讓他們在簡單的問題解決過程中感受到了由于基本條件變化而產生的問題多樣性。

【片段二】鞏固應用，拓展新知認識

(教師出示第一組習題，學生獨立完成:1.園林工人沿1 000米的公路一側植樹(兩端要栽)，每隔10米種一棵，一共需要多少棵樹苗?2.同學們在全長80米的小路一邊植樹(一端不栽)，每隔4米栽1棵，一共要多少棵樹苗?3.在長200米的路的一側插彩旗，每隔10米插一面，兩端都不插，一共可以插幾面?)

師:解答完這3道題后，你有什么疑問嗎?

生:沒有。

師:你們沒有問題，老師倒想問問你們，前兩題是植樹的，可以用植樹問題的方法來解決，第三題是插彩旗，為什么也能用上植樹問題的思路?

生:因為插彩旗和植樹是一回事，方法是一樣的。

師:真不錯，你們能從植樹問題聯想到別的問題。在生活里有沒有這樣的植樹問題呢?

生1:馬路上安裝路燈就是每隔一段距離裝一盞的。

生2:我們做體操排隊也是一樣的。

生3:還有我們教室走廊里的花也是一盆一盆之間有間隔的。

……

師:是啊，一面彩旗可以看做一棵樹，一盞路燈可以看做一棵樹，一個學生可以看做一棵樹，一盆花可以看做一棵樹……這些問題其實都同植樹問題一樣。接下來我們再應用植樹問題的方法來解決更多的問題。

【賞析】劉老師巧妙地通過問“第三題是插彩旗，為什么也能用上植樹問題的思路”，引導學生對所學的知識進行反思。學生自覺地將植樹問題與現實生活的實際情景聯系起來，嘗試運用生活實例來詮釋所學的數學知識，感悟了不同問題之間的本質聯系，理解了同一類問題其實是可以用同一種方法來解決的道理。通過這樣來學數學，學生在大腦里有效地構建了數學模型。

【片段三】變式練習，促進思維發展

(教師出示第二組習題，學生獨立完成:1.在一段40米路的兩側掛著燈籠，每隔4米掛一盞，兩頭都掛，一共掛了多少盞?2.大象館與猩猩館相距60米，綠化隊要在兩館之間的小路一旁栽樹，相鄰兩棵樹之間的距離是3米，一共要栽幾棵樹?3.在100米的跑道上排隊，同學們每隔2米站一個人，一共可以站幾個人?)

師:現在我們一題一題地來匯報，同學們怎樣解決第一題的?

生1:40÷4+1=11。

生2:( 40÷4+1)×2=22。

師:兩種答案，請你們認真思考，自己該同意誰的，為什么?

生:我同意第二種，因為題目里是說路的兩側掛著燈籠。

師:采用方法1的同學，你聽清楚他的意思了嗎?

生:我明白了，剛才我沒仔細看，沒有注意到題目要求兩側都掛。

師:看來認真審題很重要哇!再來看第二題。

生1:60÷3-1。

生2:60÷3+1。

師:看來又出現了兩種情況，以同桌為一個小組商量一下吧。

生:我們同意第一種，因為我們可以把大象館和猩猩館想象成兩堵墻，那么就是兩頭都不種，樹的棵數應該等于間隔數減1。

師:是啊，有時題目中不會很明顯地告訴你要求，需要你自己去仔細思考。好，那第三題呢?

生1:100÷2+1。

生2:100÷2。

生3:100÷2-1。

師:怎么會有三種算法呢?我們先討論一下每種方法是否可行，如果可行，那么實際排隊是怎樣排的?

生1:我們排隊時首尾都要站人，那么人數要比間隔數多1人，所以是100÷2+1。

生2:我們組認為題目沒有說清楚到底是怎樣排隊，所以三種情況都有可能，第二種是只站一頭，第三種是首尾都不站。

生3:我也同意他的觀點，不過，我還有個想法，跑道不一定是直的，如果是環形跑道，那怎么辦?

師:這個問題提得非常好，環形跑道同直線跑道是不一樣的，它和我們前面遇到的在一條直路上植樹的情況有什么區別呢?由于時間的緣故，今天我們主要研究在直線上栽樹的問題，這個曲線上植樹的問題就留給大家自己到課后去研究吧。

【賞析】在練習環節，盡管劉老師采用的仍是傳統的練習策略，但他卻在“植樹問題”三種基本模式的變化運用中做足了文章:通過改變問題情境、抽掉相關信息、模糊處理素材等手段提高了習題設計的思維含量，讓原本單一的解決問題成為發展學生思維嚴密性、靈活性和開放性的學習活動。通過這組練習，全班學生既鞏固了基礎知識和基本技能，達到了必需的學習要求，不同層次的學生又有了新的學習目標，這樣引導學生嘗試自主地研究新問題，逐步從“學會”走向“會學”。(作者單位:浙江省寧波市廣濟中心小學)

□責任編輯 鄧園生

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