提高統(tǒng)計教學(xué)實效尚需正本清源

“概率與統(tǒng)計”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》四大內(nèi)容之一，主要研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機現(xiàn)象。它通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析以及對事件發(fā)生可能性的刻畫，幫助人們作出合理的推斷和預(yù)測。在參加小學(xué)數(shù)學(xué)教研活動時，一些教師由于自己對統(tǒng)計的知識掌握得不夠，往往表現(xiàn)出顧此失彼、不得要領(lǐng)。筆者認為，提高統(tǒng)計教學(xué)實效尚需正本清源，引導(dǎo)教師掌握小學(xué)統(tǒng)計教學(xué)涉及的相關(guān)概念的內(nèi)涵，消除對有關(guān)的概念和判斷的認知錯誤。

一、要對統(tǒng)計有一個明晰的整體認識

作為一種社會實踐活動，統(tǒng)計已有四五千年的歷史。據(jù)《尚書》記載，我國在公元前2000年的貢賦制度和勞役制度中，就已初步形成數(shù)量和分組的概念。但作為這種實踐活動的經(jīng)驗總結(jié)和理論概括的“統(tǒng)計學(xué)”，卻僅有300多年的歷史，與“概率論”的形成基本同步。

統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的重要方法。隨機事件的發(fā)生具有偶然性，人們關(guān)注其發(fā)生的可能性的大小，這種可能性就要借助概率來表示。對于隨機事件中的一類特殊事件——等可能性事件，其發(fā)生的概率可以直接按概率的古典定義P(A)=來計算，其中n是基本事件的總數(shù)，k是事件A中所包含的基本事件的個數(shù)。這是一種演繹推理，可以不走統(tǒng)計的路子。然而，在隨機事件中，等可能性事件僅是其中的一小部分，絕大多數(shù)的隨機事件并不具有等可能性。要探求這些非等可能性事件的隨機事件發(fā)生的概率，唯一的途徑就是統(tǒng)計。于是，概率的統(tǒng)計定義P(A)≈便應(yīng)運而生。其中n是試驗的次數(shù)，m是事件A發(fā)生的次數(shù)。當(dāng)n足夠大時，頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，這個穩(wěn)定值就可近似地當(dāng)做事件A發(fā)生的概率。這種概率的獲得來自與演繹推理正好相反的歸納推理。

為了對某一隨機現(xiàn)象進行研究，人們進行大量重復(fù)試驗來獲取數(shù)據(jù)，再通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這些工作就是統(tǒng)計。由于統(tǒng)計研究的對象是具有偶然性的隨機事件，這一事件何時發(fā)生、何時不發(fā)生，人們無法得到確切的結(jié)論，所能得出的結(jié)論只是這一事件發(fā)生的可能性大約有多大。也就是說，這個隨機現(xiàn)象的規(guī)律只能借助概率來刻畫。正因為如此，統(tǒng)計與概率自然而然地密不可分。不僅中小學(xué)教材把概率與統(tǒng)計安排在一塊，就是到了大學(xué)，也常把“概率論”與“統(tǒng)計學(xué)”合并為《概率與統(tǒng)計》一門課程來講授。有時則習(xí)慣地統(tǒng)稱為《概率論》。

統(tǒng)計的核心不是列統(tǒng)計表、畫統(tǒng)計圖、求平均數(shù)等知識與技能，統(tǒng)計的核心是統(tǒng)計思想與觀念，具體地說，就是數(shù)據(jù)分析觀念。在統(tǒng)計教學(xué)中，首先要讓學(xué)生知道數(shù)據(jù)中蘊涵著信息，統(tǒng)計就是通過對數(shù)據(jù)的分析來獲取信息，從而作出一些合理的判斷的。因此，在教學(xué)中要重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，讓學(xué)生懂得對數(shù)據(jù)的整理和分析是探求規(guī)律的重要方法，是科學(xué)研究的重要途徑。使學(xué)生牢固地樹立統(tǒng)計思想，扎實地提高統(tǒng)計能力，正是統(tǒng)計教學(xué)的總體目標(biāo)。

統(tǒng)計學(xué)可分為“應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)”和“數(shù)理統(tǒng)計學(xué)”兩大類，前者屬于有各自研究對象的應(yīng)用數(shù)學(xué)范疇，如人口統(tǒng)計學(xué)、心理統(tǒng)計學(xué)、經(jīng)濟統(tǒng)計學(xué)等;后者則是研究抽象數(shù)量關(guān)系的一個“純數(shù)學(xué)”分支，是人類認識自然、改造自然、利用自然的有效工具。

我國數(shù)學(xué)工作者將統(tǒng)計學(xué)應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究，取得了顯著成果。例如，將質(zhì)量控制等統(tǒng)計方法用于制造業(yè)，使我國手表、電視機等機電產(chǎn)品的質(zhì)量得以明顯提高。中國科學(xué)院系統(tǒng)研究所運用統(tǒng)計方法對我國糧食產(chǎn)量進行預(yù)測，連續(xù)11年的預(yù)測產(chǎn)量與實際產(chǎn)量的平均誤差僅為1%。云南大學(xué)統(tǒng)計系還將聚類分析和判別分析等統(tǒng)計方法運用于對紙灰的研究，通過對犯罪嫌疑人燒毀罪證后所得紙灰的數(shù)據(jù)分析，推斷出紙張的類別，幫助刑偵部門偵破了多起案件，并因此而獲得獎勵。

二、要掌握描述數(shù)據(jù)集中趨勢的三個特征數(shù)

表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的三個特征數(shù)是平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，它們既有聯(lián)系又有區(qū)別，都能反映數(shù)據(jù)的集中程度，但由于各自的角度不同，所以又彼此有別。平均數(shù)常用符號表示，= 。中位數(shù)常用符號Me表示。對一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時，正中間那個數(shù)就是中位數(shù);當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時，正中間那兩個數(shù)的平均值就是中位數(shù)。而在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)就稱為眾數(shù)。眾數(shù)常用稱號Mo表示。值得注意的是，在一組數(shù)據(jù)中，有時眾數(shù)可能不止一個，有時也可能沒有眾數(shù)。

用平均數(shù)描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，具有較大的可靠性，但它的缺點是易受極端數(shù)據(jù)的影響。中位數(shù)的優(yōu)點是不受極端數(shù)據(jù)的影響，即使兩端存在未知數(shù)據(jù)時，中位數(shù)依然可以求得。眾數(shù)的出現(xiàn)只與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)有關(guān)，也不受極端數(shù)據(jù)的影響。

事實上，當(dāng)數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布時，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)將會“三位一體”，取同一數(shù)值。只有在偏態(tài)的情況下，它們才會有所不同。

平均數(shù)是刻畫集中趨勢的首選特征數(shù)。在這三個特征數(shù)中，最有價值、用得最多的無疑是平均數(shù)。平均速度、平均身高、平均工資、平均壽命、平均溫度、平均降雨量、平均能耗等，人們早已耳熟能詳。學(xué)校也經(jīng)常用班級的平均分數(shù)來對各班成績進行衡量。而用中位數(shù)或眾數(shù)來給各班的成績定優(yōu)劣、給各個教師的教學(xué)質(zhì)量定高低之舉，人們卻鮮有耳聞。這是為什么呢?

首先，這是因為平均數(shù)具有另兩個特征數(shù)都不具備的獨特優(yōu)點:它用到了組內(nèi)所有數(shù)據(jù)的信息。平均數(shù)既然是由全體數(shù)據(jù)“糅合”而成，那么用它來刻畫這組數(shù)據(jù)的集中程度和整體水平，當(dāng)然就最合理、最可靠、最令人信服。

其次，平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)影響的缺點可以借助一些技術(shù)手段予以克服。例如，在跳水比賽中，運動員的成績評定就是通過從所有裁判的評分中去掉一個最高分和去掉一個最低分得出的;而在我國中央電視臺舉辦的青年歌手電視大獎賽中，由于評委的人數(shù)較多，在算平均分前，則要去掉兩個最高分和兩個最低分。

人教版義務(wù)教育標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》五年級下冊第122頁例1，給出了20個舞蹈隊員的身高數(shù)據(jù)(單位是m)，其中有7個1.52，1.52是眾數(shù)。此時，以眾數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)從這20人中挑選10人參加比賽的確是最佳方案。值得注意的是，編者是借此例題引入“眾數(shù)”概念，千萬別以為凡遇類似情形都一律要以眾數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)。實際上，只要這組數(shù)據(jù)稍有變動，完全可以使得按平均數(shù)或中位數(shù)來挑選10人的方法優(yōu)于按眾數(shù)來選人的方法，從而成為最佳方案。教師須防止思維的片面和絕對，學(xué)會具體問題具體分析。

平均數(shù)對后續(xù)學(xué)習(xí)仍起作用。升入初中后，學(xué)生還要學(xué)習(xí)表示離散程度的一些特征數(shù)，而這類特征數(shù)大都要用到平均數(shù)的概念，如方差S2的定義是:S2=(xi-)2 ;標(biāo)準(zhǔn)差S的定義是S= ;變異系數(shù)CV的定義是:CV= #8226;100%。在這些定義式中，都能發(fā)現(xiàn)平均數(shù) 的身影，而中位數(shù)Me和眾數(shù)Mo則已銷聲匿跡、蹤影全無。到高中，還會遇到一個重要的統(tǒng)計概念——數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望常用符號Eξ表示，其本質(zhì)就是隨機變量ξ的概率平均數(shù)，它是平均數(shù)的更一般的形式。了解了這一點，教師就應(yīng)更加重視平均數(shù)的教學(xué)，而不要在三個特征數(shù)上平均使用力量。

須補充說明的是，按內(nèi)容分，統(tǒng)計可分為描述統(tǒng)計與推斷統(tǒng)計兩大塊。像整理數(shù)據(jù)、制表、繪圖、計算各種統(tǒng)計量等，均屬描述統(tǒng)計;而像通過對樣本的分析，對總體作出推斷，就屬于推斷統(tǒng)計。小學(xué)階段的統(tǒng)計內(nèi)容，基本上都屬于描述統(tǒng)計，要到初中才學(xué)習(xí)抽樣和用樣本估計總體。而實際上，推斷統(tǒng)計才是最有趣的，也最能體現(xiàn)統(tǒng)計的探究性價值。因此，為了讓學(xué)生喜愛數(shù)據(jù)，學(xué)會分析數(shù)據(jù)，并初步領(lǐng)悟由局部推斷總體的統(tǒng)計思想，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中可以編擬一些簡單的推斷題，讓學(xué)生做適當(dāng)?shù)木毩?xí)。(作者單位:南昌師范高等專科學(xué)校)

□責(zé)任編輯 鄧園生

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