教公式的由來比教公式本身更重要

小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”內(nèi)容中涉及很多公式的教學(xué)。在具體教學(xué)過程中，教學(xué)“探究公式由來的過程”還是很難落實(shí)到位，許多教師不知如何實(shí)施。浙江省“教改之星”畢宏輝老師執(zhí)教的“平行四邊形的面積”一課，給我們提供了一個(gè)解決這一難題的成功范例。

【片段一】呈現(xiàn)真實(shí)狀態(tài)，任務(wù)驅(qū)動(dòng)確定起點(diǎn)

師:有兩個(gè)圖形(出示1個(gè)長方形和1個(gè)平行四邊形)，請(qǐng)同學(xué)們先測(cè)量相關(guān)的長度，再計(jì)算它們的面積。

(學(xué)生在練習(xí)紙上測(cè)量、計(jì)算，教師在巡視過程中選取學(xué)生的典型做法在實(shí)物投影上展示，其中兩個(gè)做法是正確的，做錯(cuò)的學(xué)生列式是(6+4)×2=20平方厘米)

師:現(xiàn)在我們來交流一下計(jì)算結(jié)果。

師:這個(gè)同學(xué)的算式和其他兩個(gè)不一樣，你是怎樣想的?

生:(不好意思地)做錯(cuò)了，我算周長了。

師:那你知道該怎樣計(jì)算長方形的面積嗎?

生:把長和寬乘起來就可以。

師:好的，我們?cè)賮砜戳硗?個(gè)同學(xué)是怎樣求平行四邊形的面積的。

(出示圖1)

①(6+4)×2=20平方厘米②6×4=24平方厘米; ③6×3=18平方厘米

【賞析】本課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)沒有出現(xiàn)我們常用的生活情境，而是直奔主題引入平行四邊形的面積計(jì)算，通過出示長方形和平行四邊形圖形，讓學(xué)生帶著任務(wù)“測(cè)量所需要的數(shù)據(jù)，計(jì)算它們的面積”，借此展示學(xué)生原生態(tài)的認(rèn)知，了解學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。從課堂上反饋的情況看，雖然個(gè)別學(xué)生把周長和面積的計(jì)算方法搞混淆了，但大多數(shù)學(xué)生掌握了計(jì)算長方形面積的方法，有了自己的思考與猜想，出現(xiàn)了3種計(jì)算平行四邊形的方法，激發(fā)了他們探究正確計(jì)算方法的求知欲望。

【片段二】否定錯(cuò)誤猜想，證偽思維體驗(yàn)變化

師:計(jì)算同一個(gè)平行四邊形的面積，同學(xué)們想到了3種不同的計(jì)算方法，也許我們不能肯定哪種方法是正確的。如果其中有錯(cuò)誤的，你認(rèn)為是哪一種?為什么?

生:第一種，因?yàn)檫@是計(jì)算平行四邊形的周長。

師:剩下的兩種方法，你覺得哪一種不合理呢?請(qǐng)說說你的理由。

生1:我覺得6×3=18是錯(cuò)誤的，因?yàn)槠叫兴倪呅稳菀鬃冃危堰@個(gè)平行四邊形拉一拉就變成了長方形，長方形面積就是6×4=24。

生2:我覺得6×4=24是錯(cuò)誤的，按照這位同學(xué)的說法，難道把這個(gè)平行四邊形壓扁了，面積還是24平方厘米嗎?

師:哦，有兩種不同的意見，大家覺得呢?

(絕大多數(shù)同學(xué)還是堅(jiān)持6×3=18是錯(cuò)誤的)

師:請(qǐng)大家仔細(xì)觀察一下老師手上平行四邊形的變化。(利用活動(dòng)模型演示將平行四邊形逐漸拉扁)

師:你們發(fā)現(xiàn)平行四邊形在剛才的變化過程中，什么變了，什么沒有變?

生1:面積變小了。

生2:邊的長短沒有變。

師:平行四邊形的兩組底邊沒有變，而它的面積卻在慢慢變小，看起來，用相鄰的兩條邊相乘不能算出平行四邊形的面積。現(xiàn)在你認(rèn)為哪一種計(jì)算方法是錯(cuò)誤的?

生:用6×4計(jì)算平行四邊形的面積是錯(cuò)誤的，應(yīng)該用“底×高”來計(jì)算。

師:為什么要用“底×高”來計(jì)算平行四邊形的面積呢?(拉動(dòng)平行四邊形模型)想一想是哪個(gè)的變化引起了平行四邊形面積的變化呢?

生:是高的變化引起的。

師:我們能不能把平行四邊形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形來說明呢?

(在學(xué)生思考、討論的基礎(chǔ)上，教師結(jié)合課件的剪拼演示引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出計(jì)算方法)

【賞析】當(dāng)出現(xiàn)3種計(jì)算方法時(shí)，畢老師以問題“你先淘汰哪一種”引領(lǐng)學(xué)生從“證偽”的思維角度審視這3種思路，快速地解決周長與面積區(qū)別的問題，排除了第一種做法。而對(duì)于“底邊×鄰邊”的計(jì)算方法，由于不少學(xué)生覺得四條邊的長度不變其面積也不變，出現(xiàn)了爭執(zhí)的“憤悱”局面。教師通過演示活動(dòng)的平行四邊形模型，讓學(xué)生觀察體驗(yàn)“變與不變”的關(guān)系，使其清晰地看到在底邊和鄰邊不變的情況下，拉動(dòng)模型對(duì)角，平行四邊形變窄了，面積變小了，高也變短了，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在“變與不變”的分析比較中得出“平行四邊形的面積≠底邊×鄰邊”的結(jié)論，并繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生研究平行四邊形的面積計(jì)算方法。

【片段三】驗(yàn)證計(jì)算方法，特殊化歸有思操作

師:是不是所有的平行四邊形都可以剪拼成長方形呢?請(qǐng)同學(xué)們?nèi)我饽贸鲆粋€(gè)平行四邊形，想一想，怎樣才能把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形?

(學(xué)生操作驗(yàn)證，教師分別讓3個(gè)學(xué)生展示利用不同的平行四邊形沿不同的高剪拼成長方形的過程)

師:同學(xué)們真能干，很快就把平行四邊形轉(zhuǎn)換成了長方形。請(qǐng)大家認(rèn)真觀察，轉(zhuǎn)換前平行四邊形的面積、底和高分別與轉(zhuǎn)換后的長方形的面積、長和寬有怎樣的聯(lián)系?

(根據(jù)學(xué)生回答總結(jié)計(jì)算方法并完成如下板書)

【賞析】在學(xué)習(xí)平行四邊形面積的計(jì)算中，學(xué)生動(dòng)手操作是必要的手段之一。如何讓外顯的動(dòng)手操作體現(xiàn)出內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維呢?在解決“變與不變”問題并推導(dǎo)平行四邊形的計(jì)算方法后，畢老師設(shè)計(jì)了一個(gè)問題情境:“是不是所有的平行四邊形都可以剪拼成長方形呢?”引導(dǎo)學(xué)生帶著“證實(shí)”的渴望，運(yùn)用手中不同的平行四邊形，沿著不同的高進(jìn)行“轉(zhuǎn)化”操作。 在學(xué)生自主探索的過程中，畢老師給了學(xué)生充足的時(shí)間和空間，學(xué)生思維積極活躍，此時(shí)的課堂是靈動(dòng)的、深刻的。

【片段四】應(yīng)用計(jì)算方法，解構(gòu)重構(gòu)突出對(duì)應(yīng)

師:(出示兩個(gè)沒有任何條件的平行四邊形)請(qǐng)大家想一下，要求這兩個(gè)平行四邊形的面積，你希望老師提供哪一條底?哪一條高?(各補(bǔ)上兩個(gè)圖形的底和高，如圖2)現(xiàn)在可以計(jì)算它們的面積了嗎?

生:(點(diǎn)頭)可以算了。

師:我們先看第一題。(展示一個(gè)學(xué)生的算法:9×8=72平方厘米)你剛才想的和老師提供的是同一條底和高嗎?

生:不是，我剛才想的是下面的這條底。

師:(出示另一組底和高，如圖3)是這一組嗎?大家算一下，有什么發(fā)現(xiàn)?

生1:7.2×10和9×8計(jì)算的結(jié)果是一樣的，都是這個(gè)平行四邊形的面積。

生2:我發(fā)現(xiàn)一個(gè)平行四邊形的面積有兩種算法，但下面的底只能和7.2乘……

師:你的意思是不是底和高要對(duì)應(yīng)?(板書:對(duì)應(yīng))那左邊的這條底對(duì)應(yīng)的高在哪里?

生:8厘米這一條。

師:好，現(xiàn)在我們?cè)賮砜催@個(gè)同學(xué)做的第二題。(投影:4×3=12厘米)

(開始喊“對(duì)”的學(xué)生較多，教師不動(dòng)聲色，逐漸地，“錯(cuò)”的呼聲越來越高)

師:底×高=平行四邊形面積，怎么就不對(duì)了?

生:下面底和高不對(duì)應(yīng)。

師:對(duì)啊，底和高要對(duì)應(yīng)才能利用公式。現(xiàn)在底是4厘米，高該怎么畫?

……

【賞析】當(dāng)學(xué)生剛剛構(gòu)建了計(jì)算平行四邊形面積的數(shù)學(xué)模型時(shí)，很容易形成思維定勢(shì)。對(duì)于兩個(gè)沒有條件的平行四邊形，他們首先想到的是下面水平方向的底和對(duì)應(yīng)的高。畢老師的處理非常巧妙，第一題提供的是左面的底和對(duì)應(yīng)的高，原來不用“下面的底和高”也可以求平行四邊形的面積，只要底和高對(duì)應(yīng)就行;第二題提供的是下面的底和左面底上的高，就不能求出平行四邊形面積，因?yàn)榈缀透弑仨殞?duì)應(yīng)，解構(gòu)之后的重構(gòu)，突出了對(duì)應(yīng)，深化了認(rèn)知。

綜觀全課，畢老師并沒有設(shè)計(jì)紛繁復(fù)雜的情境，也沒有使用華麗炫目的課件，而是將思想方法滲透在教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵之處，巧妙地利用學(xué)生計(jì)算長方形面積的經(jīng)驗(yàn)設(shè)置懸念，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了類推(負(fù)遷移)→試誤→驗(yàn)證→尋求解決問題的正確方法→推廣應(yīng)用→拓展等過程，充分體現(xiàn)了學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人的全新教學(xué)理念，成功而有效地引導(dǎo)他們探究了平行四邊形面積公式的由來。全課層層推進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，流暢而有特色。可以說，他是用數(shù)學(xué)本身的魅力和自身精湛的教學(xué)藝術(shù)吸引著學(xué)生走進(jìn)了數(shù)學(xué)的殿堂。(作者單位:浙江省仙居縣橫溪鎮(zhèn)中心小學(xué))

□責(zé)任編輯 鄧園生

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