數(shù)學(xué)解題美的挖掘與思維培養(yǎng)

■江思容

數(shù)學(xué)解題美的挖掘與思維培養(yǎng)

■江思容

數(shù)學(xué)中，一個(gè)優(yōu)美的圖形，一個(gè)對稱的式子，都能喚起數(shù)學(xué)美感。解題教學(xué)中，教師如果注意挖掘數(shù)學(xué)美感，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)也是一個(gè)色彩艷麗的世界，就可以大大消除數(shù)學(xué)枯燥難學(xué)誤解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平與思維品質(zhì)。

一、揭示簡潔美，培養(yǎng)思維的靈活性

簡潔美是數(shù)學(xué)中最基本的美，它一方面表現(xiàn)在數(shù)學(xué)對象合理簡單的表達(dá)形式上，如幾何概念的簡潔性、定理的精煉性、圖形的直觀性、符號的概括性等；另一方面則表現(xiàn)在對一些復(fù)雜問題的簡單解答上。一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，雖然表現(xiàn)形式可能較為復(fù)雜，但其本質(zhì)往往比較簡單，解題時(shí)如果從簡單的一面進(jìn)行思考，就能使問題順利解決。

例1，解方程:

分析：本題若去分母,再兩邊平方計(jì)算很繁。如果聯(lián)想到不等式的性質(zhì),(其中a≥0，b≥0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立，再結(jié)合已知方程的左、右邊式子特征，就能輕松解題。要使等號成立，必須且需，于是解原方程就轉(zhuǎn)為解方程：，解這個(gè)方程得：x=-2，經(jīng)檢驗(yàn)知：x=-2是原方程的根。

二、挖掘?qū)ΨQ美，培養(yǎng)思維的敏捷性

平面幾何中有很多圖形都是對稱的，如果在欣賞這種對稱美的同時(shí)，能抓住它的對稱信息并熟練運(yùn)用它的簡潔性、對稱性，就可使問題化繁為簡，化難為易。

例2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中點(diǎn)，DE=AM，E為垂足，求證：

分析：本題利用對稱補(bǔ)形，作出矩形ABCD關(guān)于BC的對稱圖形A'BCD'，易知，延長AM恰過D'，利用面積關(guān)系DE·AD'=AD·DD'即可得結(jié)論。該題的解法很多，但只有“對稱性”法最簡單。如此用對稱性質(zhì)解題，可讓學(xué)生感受一種美，從中也體驗(yàn)了思維的敏捷性。

三、尋求相似美，培養(yǎng)思維的遷移性

數(shù)學(xué)的相似美是指各種數(shù)學(xué)形式之間存在的相似因素賦予人的一種美。因此，可利用相似性的啟示，找到正確的解題途徑，通過運(yùn)用聯(lián)想、類比、猜想等方法推廣命題，形成問題鏈，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的遷移性。

例3，(1)設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，求證方程x2-(a+b)x+(ab-c2)=0有兩個(gè)實(shí)根，并確定兩根相等的條件。

(2)k為何值時(shí)，(k+2)x2+6kx+4k+1是一個(gè)完全平方式？

(3)求證m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線y=x2-(m2+4)x-2m2-12與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)。

(4)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y=mx2+(m-2) x+m-1的值恒為正？恒為負(fù)？

(5)設(shè)a、b、c是三角形的三邊，且方程(cb)x2-2(b-a)x+(a-b)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求證此三角形是等腰三角形。

分析：這五道題從表面上看似乎沒有任何聯(lián)系，但只要認(rèn)真審題、仔細(xì)推敲，就不難洞察到它們本質(zhì)上的共同點(diǎn)，其解題方法包含著相似的因素，都在于判別式的靈活應(yīng)用。

四、構(gòu)思奇異美，培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維方式的奇異美，是指人們在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，突破常規(guī)大膽設(shè)想，另辟蹊徑標(biāo)新立異所帶給人的一種美。這種美的思維方式不是簡單的套用模式，而是用巧妙的構(gòu)思、新穎奇特的方法解決問題，是一種創(chuàng)造性的思維。在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生敢發(fā)奇想，培養(yǎng)他們的奇異思維和獨(dú)創(chuàng)能力。

分析：該題若按常規(guī)思路，理當(dāng)先化簡代數(shù)式，從已知條件求出字母所表示的值，然后將字母的值代入計(jì)算結(jié)果，這樣學(xué)生似乎感到滿足，思維就停止活動，就在這“理當(dāng)如此”的地方，提出這樣的一個(gè)問題。是否非要從已知條件求出字母所表示的值呢？這一問就把學(xué)生從常規(guī)思考方法中引出來，考慮非常規(guī)的解題方法。根據(jù)本題的條件和所求的代數(shù)式，可引導(dǎo)學(xué)生這樣思考：由已知條件求得，而，然后求得值為。

總之，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在美、數(shù)學(xué)方法美，挖掘?qū)W生的非智力因素，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和審美情感，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中得到優(yōu)美愉快的享受。

（作者單位：武漢市洪山區(qū)教育科學(xué)研究培訓(xùn)中心）

責(zé)任編輯 王愛民