直覺的解題功能

李青

在數學教學過程中，學生碰到的大都是常規性數學問題。這類問題是數學問題中的基本問題，它既是課堂教學的重點，同時也是考查學生學習情況的重點。但是在實際教學過程中，由于應試教育的壓力，學生過多的精力被浪費在如何提高解決此類問題的熟練程度上，導致學生思維方式的僵化，阻礙學生創造性的提高。因而在數學教學過程中適當地增加一些非常規性的題目就顯得尤為必要。所謂非常規性數學問題就是不是簡單地套用數學的定義、定理或按照特定的模式而解決的題目，它需要學生從實際的數學問題出發，試圖從不同的角度、用不同的方法去探索數學問題解決的途徑。非常規性數學問題無疑對于培養學生思維的靈活性、深刻性和廣闊性有很大的幫助。非常規性數學問題的解決有一些基本的策略和方法，其中依靠直覺猜想問題答案是最重要的方法之一。

1 歸納直覺的解題功能

歸納猜想是通過各種手段（觀察、實驗、分析、比較等）對許多個別事物的經驗認識的基礎上，邏輯推導出各現象之間的因果關系，并逐步過度普遍化的推理方法。拉普拉斯曾經說過：“甚至在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比?！彼耘囵B學生的歸納猜想能力是很重要的，這種思維形式的主要步驟是：實踐——歸納——推廣——猜想——證明。也就是說當遇到一個抽象化的非常規問題（通常與n有關），難以入手時，設法把它具體化、特殊化，即用幾個特別的例子通過觀察、分析，歸納出結論或解題的一般規律。

分析A是一個比較復雜的和式，也不是具體的數，直接比較大小比較困難，只好采用歸納猜想：于是猜想猜想結論可用數學歸納法證明。

2 類比直覺的解題功能

所謂類比法就是某種類型的相似性。對象甲與乙可類比，意味著它們在某方面相同或相似（或概念相似，或結構相似，或性質相似等）。類比的目的在于根據對象甲與乙的性質相似，推出它們另外的一些屬性也相似。這種思維的形式是：聯想——類比——猜想。就是把所研究的問題與以前熟知的有關內容加以應用，可設問：以前見過它嗎？是否見過相同的問題而形式稍微不同？是否知道一個與此有關的問題？是否知道可能用得上的問題？然后回到研究的問題中來。

3 一般化與特殊化直覺的解題功能

一般化是由個別到普遍，特殊到一般的認識方法。其基本特點是從同類的若干現象中發現它們的共同規律，由特殊的、較小范圍內的認識擴展到更普遍、較大范圍內的認識。將待解的特殊問題一般化，從而猜得問題的解法，這便是一般化猜想的實質。波利亞說：“如果一批問題是彼此相關的，解決起來有時還比單獨去解決其中一個容易些——因為多個問題是彼此很好地相互聯系的，而一個問題本身是獨立的?！碧厥饣c一般化相反，它是人們由普遍到個別、一般到特殊的認識方法，其基本特點是以被研究對象的普遍規律為基礎，肯定個別對象具有個別屬性。把復雜的一般性問題特殊化，猜得解題方法，這便是特殊化猜想的實質。這種方法是否奏效，關鍵是能否找到一個合適的特殊條件。

特殊條件下的特殊問題一要易解，二要能由其解猜得原一般性問題的解法。要將一個普遍性的數學問題特殊化，通常情況下并不難，只需適當地加強某些條件或增加些限制即可。正是因為如此，一個一般性問題經不同的特殊化處理可以得到不同的特殊問題。

4 直觀形象猜想的解題功能

所謂直觀形象猜想指的是在解決數學問題中，借助圖形來研究數量關系，這里的圖形可以是幾何圖形、函數圖象，還可以是圖表，甚至是示意圖等。借助幾何模型進行想象，可以使問題的條件與結論之間的關系更加簡單明了，從而導致邏輯通道的一目了然與思維過程的避繁就簡。不僅如此，它還可以通過形象使學生從整體上把握問題的實質，抓住關鍵，推動思維活動的開展。著名數學家華羅庚教授在這方面有一段精彩的論述：“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數缺形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，割裂分家萬事非。”所以在解決非常規性的數學問題中，直觀形象無疑是一件利器。

分析 按照常規定勢，應孤立根式，兩邊平方，整理后再孤立再平方，從而化為有理式求解。這樣一來可能產生增根，更主要的是整理以后的有理方程將是四次方程。解四次方程是繁難的。所以只好轉換思考角度，分析題目的特點，從幾何直觀上考慮此方程的幾何意義：是否可以把左邊的兩個根式看成兩個兩點間的距離，從而題設方程便變為兩距離之和為常數，據此再求x呢？也就是說，能否與橢圓進行聯系，把解方程的問題化歸為平面解析幾何中有關橢圓的性質的問題呢？事實上，變形原方程得它表示點(x,1)的坐標到兩定點(2,0),，(?2,0)的距離之和為6(＞4)。納入橢圓定義式，即知點(x,1)的坐標滿足橢圓方程從而可解出x的值。