直覺的解題功能

李青

在數學教學過程中，學生碰到的大都是常規(guī)性數學問題。這類問題是數學問題中的基本問題，它既是課堂教學的重點，同時也是考查學生學習情況的重點。但是在實際教學過程中，由于應試教育的壓力，學生過多的精力被浪費在如何提高解決此類問題的熟練程度上，導致學生思維方式的僵化，阻礙學生創(chuàng)造性的提高。因而在數學教學過程中適當地增加一些非常規(guī)性的題目就顯得尤為必要。所謂非常規(guī)性數學問題就是不是簡單地套用數學的定義、定理或按照特定的模式而解決的題目，它需要學生從實際的數學問題出發(fā)，試圖從不同的角度、用不同的方法去探索數學問題解決的途徑。非常規(guī)性數學問題無疑對于培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性和廣闊性有很大的幫助。非常規(guī)性數學問題的解決有一些基本的策略和方法，其中依靠直覺猜想問題答案是最重要的方法之一。

1 歸納直覺的解題功能

歸納猜想是通過各種手段（觀察、實驗、分析、比較等）對許多個別事物的經驗認識的基礎上，邏輯推導出各現象之間的因果關系，并逐步過度普遍化的推理方法。拉普拉斯曾經說過：“甚至在數學里，發(fā)現真理的主要工具也是歸納和類比。”所以培養(yǎng)學生的歸納猜想能力是很重要的，這種思維形式的主要步驟是：實踐——歸納——推廣——猜想——證明。也就是說當遇到一個抽象化的非常規(guī)問題（通常與n有關），難以入手時，設法把它具體化、特殊化，即用幾個特別的例子通過觀察、分析，歸納出結論或解題的一般規(guī)律。

分析A是一個比較復雜的和式，也不是具體的數，直接比較大小比較困難，只好采用歸納猜想：于是猜想猜想結論可用數學歸納法證明。

2 類比直覺的解題功能

所謂類比法就是某種類型的相似性。對象甲與乙可類比，意味著它們在某方面相同或相似（或概念相似，或結構相似，或性質相似等）。類比的目的在于根據對象甲與乙的性質相似，推出它們另外的一些屬性也相似。這種思維的形式是：聯(lián)想——類比——猜想。就是把所研究的問題與以前熟知的有關內容加以應用，可設問：以前見過它嗎？是否見過相同的問題而形式稍微不同？是否知道一個與此有關的問題？是否知道可能用得上的問題？然后回到研究的問題中來。

3 一般化與特殊化直覺的解題功能

一般化是由個別到普遍，特殊到一般的認識方法。其基本特點是從同類的若干現象中發(fā)現它們的共同規(guī)律，由特殊的、較小范圍內的認識擴展到更普遍、較大范圍內的認識。將待解的特殊問題一般化，從而猜得問題的解法，這便是一般化猜想的實質。波利亞說：“如果一批問題是彼此相關的，解決起來有時還比單獨去解決其中一個容易些——因為多個問題是彼此很好地相互聯(lián)系的，而一個問題本身是獨立的。”特殊化與一般化相反，它是人們由普遍到個別、一般到特殊的認識方法，其基本特點是以被研究對象的普遍規(guī)律為基礎，肯定個別對象具有個別屬性。把復雜的一般性問題特殊化，猜得解題方法，這便是特殊化猜想的實質。這種方法是否奏效，關鍵是能否找到一個合適的特殊條件。

特殊條件下的特殊問題一要易解，二要能由其解猜得原一般性問題的解法。要將一個普遍性的數學問題特殊化，通常情況下并不難，只需適當地加強某些條件或增加些限制即可。正是因為如此，一個一般性問題經不同的特殊化處理可以得到不同的特殊問題。

4 直觀形象猜想的解題功能

所謂直觀形象猜想指的是在解決數學問題中，借助圖形來研究數量關系，這里的圖形可以是幾何圖形、函數圖象，還可以是圖表，甚至是示意圖等。借助幾何模型進行想象，可以使問題的條件與結論之間的關系更加簡單明了，從而導致邏輯通道的一目了然與思維過程的避繁就簡。不僅如此，它還可以通過形象使學生從整體上把握問題的實質，抓住關鍵，推動思維活動的開展。著名數學家華羅庚教授在這方面有一段精彩的論述：“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數缺形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，割裂分家萬事非。”所以在解決非常規(guī)性的數學問題中，直觀形象無疑是一件利器。

分析 按照常規(guī)定勢，應孤立根式，兩邊平方，整理后再孤立再平方，從而化為有理式求解。這樣一來可能產生增根，更主要的是整理以后的有理方程將是四次方程。解四次方程是繁難的。所以只好轉換思考角度，分析題目的特點，從幾何直觀上考慮此方程的幾何意義：是否可以把左邊的兩個根式看成兩個兩點間的距離，從而題設方程便變?yōu)閮删嚯x之和為常數，據此再求x呢？也就是說，能否與橢圓進行聯(lián)系，把解方程的問題化歸為平面解析幾何中有關橢圓的性質的問題呢？事實上，變形原方程得它表示點(x,1)的坐標到兩定點(2,0),，(?2,0)的距離之和為6(＞4)。納入橢圓定義式，即知點(x,1)的坐標滿足橢圓方程從而可解出x的值。