HIV/AIDS傳播的動力學模型及其分析

徐英，楊娟

(遵義師范學院數學系，貴州遵義563002)

到目前為止，已有許多作者建立并研究了一些非常有用的關于HIV/AIDS傳播的數學模型.文獻[1]把總的性活躍人群分成男女兩大類，并進一步把男性、女性人群分成三部分：易感人群；處于潛伏期的人群；處于發病期的人群.該文獻通過對所建模型進行分析，在理論上給出相應的預防HIV/AIDS的措施.文獻[2]和[3]考慮了患者從感染HIV到發展成AIDS病人要經歷兩個不同的發展時期：隱潛伏期和潛伏期.而文獻[4]又進一步把未感染HIV的人群分成兩類：容易感染HIV的人群和有文化素養的人群，該作者建立了離散的時延常微分方程組，并對其進行定性分析，研究公共衛生教育對疾病傳播的預防作用.可以看到，文獻[1~5]得出了比較好的結論，但是他們忽略了一重要因素，即治療性疫苗可以使一些AIDS病人轉移到潛伏期.

AIDS病人有較高的傳染力，但一些模型([3],[5])卻忽略了這一點，文獻[6]考慮到了此因素，但忽略了治療性疫苗對AIDS病人的作用，文獻[7]建立了較完美的模型，卻忽略了垂直傳播這一因素.

本文建立了一HIV/AIDS傳播的動力學模型，考慮了垂直感染、AIDS病人具有傳染性、AIDS病人有可能恢復到潛伏期這些因素；并根據HIV/AIDS的發病特點，在發病期內引入了發病年齡，用偏微分方程來描述患者在發病期的發展過程.利用系統方程，直接得出：當AIDS引起死亡率變化時社會總人口衰減.此外，利用泛函分析方法和有界線性算子半群理論分析了系統的適定性問題.

1系統動力學模型

本文把總人群分為未成年人和成年人兩大類，其中未成年人又分為沒有感染HIV的人群Cu和Ci已經感染HIV的人群；成年人分為低危險人群S1，高危險人群外S2，處于隱潛伏期的人群E，處于潛伏期的人群I以及處于發病期的人群A，本文把未感染HIV的男性同性戀者、性病病人、多個性伙伴者、靜脈注射吸毒者定義為高危險人群.剩余的那部分未感染HIV的人群稱為低危險人群.分別用Cu(t)，Ci(t)，S1(t)，S2(t)，E(t)，I2(t)表示t時刻各類人群Cu，Ci，S1，S2，E，I2的人口數目；用A(a,t)表示t時刻發病年齡為a的A類人群的人口分布.發病年齡為a是指個體在發病期已經度過的時間為a.其中，rm表示人群的最高年齡.

本文假設人口出生率為μ0，自然死亡率記為μ，設S1，S2，E三類人群的新生兒均進入Cu，考慮到垂直感染，I和A的新生兒分別以概率ω1，ω2進入Cu，而Cu類人群以概率θ1，θ2分別進入S1，S2，以θ3概率進入E；Ci類人群因病死亡的概率為γ，并以θ4概率進入E，I和A的新生兒分別以概率（1-ω1）和（1-ω2）進入Ci；S1中的個體以概率為ρ1進入E，而S1中的個體以β1轉移到S2，S2中的個體以概率β2進入S1；S2中的個體以概率ρ2進入E；E中的個體以概率σ進入I；I中的個體以概率τ1進入A，設A中的個體以概率τ2(a)恢復到I，其中τ2(a)是關于發病年齡a的函數；A中的個體單位時間內因AIDS死亡的概率為δ(a)，該死亡率與發病年齡a有關.于是可得Cu(t)，Ci(t)，S1(t)，S2(t)，E(t)，I2(t)，A(a，t)這7類人群的變化率：

圖1是方程(1.1)-(1.8)的圖表描述.其中，

對方程(1.7)在[0,rm]上關于a求積分，然后與(1.1)-(1.6)相加得：

若出生率等于自然死亡率，即μ0=μ,則上式變為：

(1.9)式表明AIDS的存在導致社會總人口將出現負增長，最終導致人群滅絕.但如果γ=δ(a)=0，則(1.9)變為：

上式表明，在AIDS不會導致個體死亡的情況下，社會總人口維持平衡，即總人口是穩定不變的.因此，在有AIDS存在并由此導致死亡率發生變化的情況下，為維護社會人口平衡必須要求出生率大于死亡率.

2系統確定的發展方程

本節在μ0=μ的條件下，分析系統所確定的發展方程，此時系統方程為：

帶有初值條件：

根據實際問題的要求，取狀態空間：

并取范數：

在X中定義算子A：

其中A的定義域D(A)為：

則系統方程(2.1)可寫成中的抽象發展方程：

其中P(t)=（Cu(t),Ci(t),S1(t),S2(t),E(t),I(t),A(a,t)）,P0=（C0u,C0i,S01,S02,E0,I0,A0(a)）

3 系統的適定性

本節討論系統的適定性,利用Banach空間上的C0半群理論，只需證明算子A可生成一C0半群.

定理3.1空間X與算子A如(2.2)-(2.4)定義，則A是閉稠定算子.

證明過程類似于[8]，此處略.

定理3.2空間X與算子A如(2.2)-(2.4)定義，則A是耗散算子，且1∈ρ（A）.

證明直接驗證可知X的共軛空間X*為：X*=R×R×R×R×R×R×L∞[0,rm].

下面分兩步來證明，

第一步：證明A是耗散的，即證，對每個P∈D(A)都至少存在一個Q∈F(P)，

任取向量P∈D(A)，P（t）=（Cu,Ci,S1,S2,E,I,A(a)），定義

其中，

則Q=（q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7(a)）∈X*,(P,Q)=‖P‖2.因此Q∈F(P)，進一步有

計算可得?(P,Q)≤0，即A是耗散算子.

第二步：驗證1∈ρ(A).

此證明過程類似于[8]，此處略.

引理3.3若A是閉稠定耗散算子，且1∈ρ(A)，則A生成一個C0半群T(t),并且滿足‖T(t)‖≤1.

由引理3.3，再結合定理3.1和定理3.2，可得出如下定理：

定理3.4空間X與算子如(2.2)-(2.4)定義，則A生成一C0半群T(t)，t≥0.

由定理3.4，可得出系統方程(2.1)是適定的：

定理3.5空間X與算子A如(2.2)-(2.4)定義，則系統方程(2.1)存在唯一的解，且此解連續依賴于初值P0,即P(t)=T(t)P0.

[1] Z.Mukandavire.Modelling circumcision and condom use as HIV/AIDS preventive control strategies[J].Mathematical and Computer Modelling，2007,（46）:1353-1371.

[2] James M.Hyman,Jia Li.The reproductive number for an HIV model with differential infectivity and staged progression[J].Linear Algebra and Its Applications,2005,（398）:101-116.

[3] C.Connell.McCluskey.A model of HIV/AIDS with staged progression and amelioration[J].Mathematical Biosciences,2003,（181）:1-16.

[4] Z.Mukandavire.Modelling effects of public health educational campaigns on HIV/AIDS transmission dynamics[J].Applied Mathematical Modelling,2009,33(4):2084-2095.

[5] Z.Mukandavire.Asymptotic properties of an HIV/AIDS model with a time delay[J].J.Math.Anal.Appl,2007,（330）:916-932.

[6] Elamin H.Elbasha,Abba B.Gumel.Theoretical Assessment of Public Health Impact of Imperfect Prophylactic HIV-1 Vaccines with Therapeutic Benefits[J].Bulletin of Mathematical Biology,2006,（68）:577-613.

[7] A.B.Gumel,Connell C.McCluskey,P.van den Driessche.Mathematical Study of a Staged-Progression HIV Model with Imperfect Vaccine[J].Bulletin of Mathematical Biology,2006,（68）:2105-2128.

[8] 鄧惠,許跟起.帶有反饋與起動故障的M/G/1重新訪問排隊系統的適定性分析[J].數學的實踐與認識，2005,35(9):173-181.