強初值敏感性的一些性質(zhì)及充分條件

牛應(yīng)軒,汪 軼

（皖西學(xué)院數(shù)理系,安徽六安 237012）

強初值敏感性的一些性質(zhì)及充分條件

牛應(yīng)軒,汪 軼

（皖西學(xué)院數(shù)理系,安徽六安 237012）

設(shè)X為緊致度量空間,f:X→X為連續(xù)映射,討論了強初值敏感性的一些性質(zhì),證明了（X,f）是強初值敏感的當且僅當其自然擴充是強初值敏感的,并給出系統(tǒng)（X,f）是強初值敏感的充分條件,另外證明了如果（X,f）是拓撲混合的或是區(qū)間上拓撲傳遞的,那么（X,f）是強初值敏感的。

強初值敏感性;初值敏感性;拓撲混合;拓撲傳遞

1 引言

設(shè)X為具有度量d的緊致度量空間,f:X→X為連續(xù)映射,我們稱（X,f）為一個動力系統(tǒng)或簡稱為系統(tǒng)。本文假設(shè)X為無限的緊致度量空間,并記diam（A）為A?X的直徑,Ac為A的余集。x∈X,ε＞0,B（x,ε）={y∈X:d（x,y）＜ε}。+和分別表示非負整數(shù)集和正整數(shù)集。對任意的n∈。我們歸納定義fn=f fn-1,f0=id為恒同映射。

（X,f）稱為初值敏感的是指存在一個常數(shù),使得對于每個非空的開集,其中都存在兩個互異的點,當若干次迭代后它們兩兩之間的距離將大于這個給定的常數(shù)。也就是說,存在δ＞0,對任意的x∈X及ε＞0,存在y∈B（x,ε）及n∈+,使得d（fn（x）,fn（y））＞δ。初值敏感性被認為是混沌的核心概念。混沌和系統(tǒng)的復(fù)雜性一直是動力系統(tǒng)研究中的重要方向之一。關(guān)于初值敏感性的研究已經(jīng)獲得許多深刻的成果。對于傳遞系統(tǒng),要么是幾乎等度連續(xù)的,要么是初值敏感的[1]（P25-40）。特別地,任何極小系統(tǒng),要么是等度連續(xù)的,要么是初值敏感的。極小點稠密的非極小的傳遞系統(tǒng)是初值敏感的[2]。非極小的Banach傳遞系統(tǒng)也是初值敏感的[3]。

隨著研究的不斷深入,研究者們給出了不同的敏感性的概念。A kin和Kloyada引入了比初值敏感性更強的概念——L i-Yorke敏感性[4]。熊金城推廣了敏感性的定義引入了n初值敏感性的概念[5]。最近,有學(xué)者[6]引入了強初值敏感性的概念并研究了測度空間上的保測變換的強初值敏感性,得到了測度空間上的保測變換是強初值敏感的充分條件。

（X,f）稱為強初值敏感的,如果存在δ＞0,對任意的x∈X及任意的ε＞0,存在N∈,使得對任意的n≥N,存在y∈B（x,ε）有d（fn（x）,fn（y））＞δ。δ稱為（X,f）的一個強初值敏感常數(shù)。以下我們將強初值敏感簡稱為強敏感。

本文對拓撲動力系統(tǒng)（X,f）討論了強敏感性的一些性質(zhì)并得到系統(tǒng)（X,f）是強敏感的充分條件。證明了如果（X,f）是拓撲混合的或是區(qū)間上拓撲傳遞的,那么（X,f）是強敏感的。

2 強敏感性的一些性質(zhì)

定理2.1 設(shè)（X,f）是具有度量d的系統(tǒng)。則

（1）如果（X,f）是強敏感的,那么對任意的k∈,（X,fk）是強敏感的。

（2）如果對某個k∈,（X,fk）是強敏感的,那么（X,f）是強敏感的。

證明:（1）由強敏感的定義易證。

（2）因為對某個k∈,（X,fk）是強敏感的。設(shè)δ＞0為（X,fk）的一個強敏感常數(shù)。因此,對任意的x∈X及任意的ε＞0,存在N∈,使得對任意的n≥N,存在y∈B（x,ε）有d（fnk（x）,fnk（y））＞δ。對于δ＞0,存在δ0＞0,使得當d（y1,y2）＜δ0有d（fi（y1）, fi（y2））＜δ,對i=0,1,2,…,k成立。令N′=kN,那么對任意的j≥N′存在y∈B（x,ε）使得d（fj（x）,fj（y））＞δ0。所以（X,f）是強敏感的,δ0為其一個強敏感常數(shù)。

設(shè)（X,f）和（Y,g）為兩個分別具有度量d和d′的系統(tǒng),π:X→Y為滿足πf=gπ的連續(xù)滿射,則π稱為（X,f）到（Y,g）的因子映射。如果π為同胚映射,那么則稱（X,f）與（Y,g）拓撲共軛。π稱為半開的,如果對X的任意的非空的開集U,π（U）的內(nèi)部int（π（U））非空。

由強敏感性的定義可得（X,f）是強敏感的等價地說,存在δ＞0,對X的任意的非空的開集U,存在N∈,使得對任意的n≥N,存在y1,y2∈U,有:

定理2.2 設(shè)（X,f）和（Y,g）為兩個分別具有度量d和d′的系統(tǒng),π:X→Y為（X,f）到（Y,g）的因子映射并且π為半開的。如果（Y,g）是強敏感的,那么（X,f）是強敏感的。

證明設(shè)δ＞0為（Y,g）的一個強敏感常數(shù)。那么對于δ＞0,存在δ0＞0,使得當d（x,y）＜δ0,有d′（π（x）,π（y））＜δ。對X的任意的非空的開集U,由于π為半開的,故int（π（U））≠?,所以存在N∈,使得對任意的n≥N,存在y1,y2∈π（U）有:

從而d′（πfn（x1）,πfn（x2））＞δ。因此我們有d （fn（x1）,fn（x2））＞δ0,所以（X,f）是強敏感的。

推論2.3 如果系統(tǒng)（X,f）與（Y,g）拓撲共軛的,那么（X,f）是強敏感的當且僅當（Y,g）是強敏感的。

設(shè)（X,f）為具有度量d的系統(tǒng)且f是滿射,令

3 強敏感性的充分條件

定理3.1 如果動力系統(tǒng)（X,f）是拓撲混合的,那么（X,f）是強敏感的。

由定理2.1的（2）及定理3.1,我們有:

推論3.2 如果存在k∈,使得（X,fk）是拓撲混合的,則（X,f）是強敏感的。

注記3.3 稱系統(tǒng)（X,f）是一致剛性的,如果存在正整數(shù)序列有fni一致收斂于恒同映射。顯然,一致剛性系統(tǒng)不是強敏感的。文獻[8]給出極小的一致剛性的弱混合系統(tǒng),因此存在弱混合系統(tǒng)甚至極小的弱混合系統(tǒng)不是強敏感的。

對于區(qū)間上的一維動力系統(tǒng),我們有:

定理3.4 設(shè)I=[0,1]是閉區(qū)間,f:I→I連續(xù),如果f是拓撲傳遞的,（I,f）則是強敏感的。

為了證明定理3.4,我們需要下面的引理。

引理3.5（[9]）設(shè)I=[0,1]是閉區(qū)間,f:I→I連續(xù),則f是拓撲傳遞的當且僅當下列條件之一成立:

（1）f是拓撲混合的;

（2）存在不動點e∈（0,1）,使得f（[0,e]）=[e,1],f（[e,1]）=[0,e]且f2|[0,e]與f2|[e,1]都是拓撲混合的。

定理3.4的證明設(shè)f是拓撲傳遞的,如果引理3.5中的（1）成立,則由定理3.1可得（I,f）是強敏感的。

[1]EAkin,J Auslander and KBerg.When is a Transitive Map chaotic?[A].V.Bergelson,P.March,J.Rosenblatt.Convergence in Ergodic Theo ry and Probability（Columbus, OH,1993）（Ohio University Math.Res.Inst.Pub.,5） [C].Berlin,New York:de Gruter,1996.

[2]Glasner E,Weiss B.Sensitive Dependence on Initial Conditions[J].Nonlinearity,1993,（6）:1067-1075.

[3]Huang W,Ye X.An Explicit Scattering,Non-weakly Mixing Example and Weak Disjointness[J].Nonlinearity, 2002,15:1-14.

[4]Akin E,Kolyada S.Li-Yorke Sensitivity[J].Nonlinearity,2003,16:1421-1433.

[5]熊金城.拓撲傳遞系統(tǒng)中的混沌[J].中國科學(xué)A輯,2005, 35（1）:302-311.

[6]Christophe A,Gerard B,Benoit C.Chaotic Properties on a Probability Space[J].J.Math.Anal.Appl.,2002,266（2）: 420-431.

[7]Kolyada S,Snoha L.Noninvertible Minimal Maps[J]. Fund.Math.,2001,168（2）:141-163.

[8]Glasner S,Maon D.Rigidity in Topological Dynamics[J]. Ergodic Theo ry and Dynamical Systems,1989,9（2）:309 -320.

[9]汪火云,熊金城.拓撲遍歷映射的一些性質(zhì)[J],數(shù)學(xué)學(xué)報, 2004,47（5）:859-866.

Some Properties and Sufficient Conditions on the Strong Sensitivity to Initial Conditions

NIU Ying-xuan,WANG Yi

（Dept.of Math.and Phys.,West Anhui University,L u’an237012,China）

LetXbe a compactmetric space andf:X→Xcontinuous.In this paper,some propertiesof the strongly sensitive dependence on initial conditions are discussed,it is obtained that（X,f）is strongly sensitive if and only if so is its natural extension,and some sufficient conditions for（X,f）to be strongly sensitive are obtained.What’s more,it is show n that if（X,f）is topological mixing or topologically transitive on the interval,then（X,f）is strongly sensitive.

strongly sensitive dependence on initial conditions;sensitive dependence on initial conditions;topological mixing;topologically transitive

O189.11

A

1009-9735（2010）02-0001-03

2010-03-04

項目資金:安徽省教育廳自然科學(xué)研究項目（KJ2007B123）;皖西學(xué)院自然科學(xué)青年項目（WXQZ0602）。

牛應(yīng)軒（1962-）,男,安徽六安人,教授,研究方向:動力系統(tǒng)與遍歷理論。