從復合函數到不動點迭代的探討

董 毅,李聲鋒

（蚌埠學院數學與物理系,安徽蚌埠 233030）

從復合函數到不動點迭代的探討

董 毅,李聲鋒

（蚌埠學院數學與物理系,安徽蚌埠 233030）

復合函數是高等數學的重要內容之一,而不動點迭代是理工科學生要求掌握的一個基本概念。在高等數學中,通過對復合函數有關知識的教學,適時地引出不動點迭代的概念,并自然地對相關理論進行了一些探討。

復合函數;不動點;迭代

1 引言

在高等數學中,復合函數是教學的重要內容之一[1]（P14-16）[2]（P22-25）。對其知識的掌握,不僅能加強對初等函數概念的理解,而且能更好地幫助對導數和積分的學習。在理論或工程技術實踐中,不動點迭代常常是一個重要概念,要求理工科學生能夠掌握并能靈活應用。筆者在高等數學課程的教學中講解復合函數的有關知識時,適時地引出不動點迭代的有關知識。這樣做不僅開拓了學生視野,同時夯實了對復合函數有關知識的理解,而且獲得了較好的教學效果。

2 復合函數概念

復合函數是說明函數對應法則的某種表達方式的一個概念。利用對應關系傳遞的原則,將兩個或多個函數通過中間變量的“橋梁”作用,產生新的函數,這一過程就是函數的復合。利用這一概念,一方面可以由幾個函數產生新的函數,另一方面也可以把函數“分解”成幾個簡單函數。比如:

例1函數z=u和u=x（x-2）復合產生新的函數z=x（x-2）。在此復合過程中,要注意確定復合函數定義域。這里的復合函數要求x（x-2）≥0,即得到復合函數的定義域為x∈（-∞,0]∪[2,+∞）。

例2函數z=arccosu和u=x2+3就不能復合成一個復合函數。因為對于u=x2+3的定義域R中任意x對應的u值,都不能使得函數z=arccosu有意義。

例3函數z=sin3（x+1）可以“分解”為z=u3、u=sinv和v=x+1三個簡單函數。

3 從復合函數到不動點迭代

有了復合函數的概念之后,我們可以考慮同一個函數的復合過程。比如,給出簡單函數u=f（x）,對任意k∈N,令

上面過程產生序列{uk},k=0,1,2,…。容易看出,序列{uk}滿足

復合關系,這一關系又稱為遞推關系或者迭代關系。這樣我們就自然地得到了迭代的概念,即

定義1由一個初始值u0=x出發,按照公式（1）進行計算得到序列{uk},這一過程稱之為迭代。

例4設函數f（x）=2x,則k次迭代得到uk=2k x。

公式（1）的迭代思想,在工程技術上或者理論上都有很重要的應用。比如在計算機的程序設計中,遞歸調用（也即迭代）是常見程序設計之一。在利用數學工具研究社會現象和自然現象,或解決工程技術等問題時,很多問題可以歸結為非線性方程的求根,而迭代思想是求解方程的一種重要方法[3]（P18-23）[4]（P50-55）。設非線性方程F（x）=0,將其換成等價形式（簡單的一種方法是x=x-F（x））

定義2設x＊是方程F（x）=0的一個根,則x＊也滿足等式（2）,即x＊=f（x＊）,反之亦然。則稱x＊是函數f（x）的一個不動點。

于是,求方程F（x）=0的根就等價地化為求函數f（x）的不動點。

定義3設x＊是方程F（x）=0的一個根。選擇靠近x＊的初始近似值x0,按照迭代格式xk+1=f （xk）進行計算得到序列{xk},k=0,1,2,…,這一過程稱之為不動點迭代。

現在的問題是不動點迭代產生的迭代序列{xk}是否收斂。如果序列不收斂,則不能得到方程F（x）=0的根,但是對這一問題的進一步研究,可以導致混沌學的產生,這里不再贅述;如果序列收斂,設收斂到x＊,顯然x＊就是f（x）的不動點,即方程F（x）=0的根。下面給出在[a,b]區間上函數f（x）的不動點存在且唯一的一個充分條件。

定理1設f（x）在[a,b]上連續,且對任意x∈[a,b]有a≤f（x）≤b成立,則f（x）在[a,b]上一定存在不動點。進一步,如果f′（x）在（a,b）上連續,且存在常數0＜L＜1,使得對任意x∈（a,b）,有

則f（x）在[a,b]上具有唯一的不動點。

證明若f（a）=a或f（b）=b,顯然f（x）在[a, b]存在不動點。因為a≤f（x）≤b,不妨設f（a）＞a與f（b）＜b。作輔助函數

顯然h（x）在[a,b]上連續,且滿足

由連續函數性質,一定存在x＊∈（a,b）使得h （x＊）=0,即f（x＊）=x＊,x＊就是f（x）的不動點。

進一步,設f′（x）在（a,b）上連續,且存在常數0＜L＜1使得|f′（x）|≤L,下證不動點是唯一的。假設f（x）在[a,b]有兩個不同的不動點和則由微分中值定理,有

其中ξ∈（a,b）。從而引出矛盾。故f（x）在[a,b]上不動點是唯一的。

至此,可以給出壓縮映射的概念以及不加證明地給出著名的Banach不動點定理[5]（P275-288）。

定義4設f:D?X→Y是一個映射。若存在常數L∈（0,1）,對任意x,y∈D,使得

其中‖x-y‖表示點x∈D與點y∈D之間的距離,則稱f為壓縮映射。

4 舉例

例5利用不動點迭代求方程F1（x）=x2-2= 0的一個正根。

5 總結

在高等數學教學過程中,引入復合函數有關知識之后,可以自然地獲得不動點迭代的概念,并對相關理論進行一些探討。這樣做不僅可以增強學生對理論的理解、而且能夠開拓學生視野。但從復合函數到不動點迭代的教學和探討中,諸如哪些類型的函數進行復合會產生周期現象?不動點迭代的初始點如何選擇?迭代收斂的速度是多少?這些問題會繼續引起我們的思考和研究。

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]劉玉璉,傅沛仁,林玎,等.數學分析講義（上）（第四版） [M].北京:高等教育出版社,2007.

[3]林成森.數值計算方法[M.北京:科學出版社,2001.

[4]R.L.Burden,J.D.Faires.Numerical Analysis（7th Ed.） [M].Calif.:Brooks/Cole Publishing Company,2001.

[5]童裕孫.泛函分析教程[M].上海:復旦大學出版社,2003.

Discussions about Function of Functions to Fixed-point Iteration

DONG Yi,LI Sheng-feng

（Department of Mathematics&Physics,Bengbu College,Bengbu233030,China）

Function of functions is one of important contents of advanced mathematics,while fixed-point iteration,a basic concept, must be mastered by science and engineering college students.The concept of fixed-point iteration is presented in good time and corresponding theories are discussed after teaching some know ledge about function of functions in the advanced mathematics courses.

function of functions;fixed-point;iteration

O13

A

1009-9735（2010）02-0004-03

2010-03-12

安徽省教育廳自然研究重點項目（KJ2010A 237）;安徽省高校優秀青年人才基金項目（2010SQRL118）。

董毅（1957-）,男,安徽蕪湖人,蚌埠學院教授,研究方向:經典調換分析;李聲鋒（1976-）,男,安徽懷寧人,講師,在讀博士生,研究方向:應用逼近論。