“逆向思維”助你解“排列組合”

對于如下幾類(1)其中某幾個元素不相鄰;(2)所有元素兩兩相同(3)其中某幾個元素的排列順序一定的排列組合等應用問題，我們可以采用“逆向思維”模式:先給出該問題結果的某一排列或組合，然后逆向思維產生這一結果的“過程”，最后依據這一“過程”進行推理與計算.

一、其中某幾個元素不相鄰的排列組合應用問題

例1 如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于4×2×3的長方體框架(由24個棱長為一個單位的正方體框架組合而成)，一建筑工人從A點沿腳手架到B點，每步走一個單位長度，且不連續向上登攀，則其行走的最近路線共有

A.150條B.525條C.840條D.1260條

分析與解 假設建筑工人從A點沿腳手架到B點行走的一條最近路線依次是:向右，向上，向北，向北，向上，向右，向上，向右，向右(共9步且向上的3步不相鄰)，這一最近路線可看成從向右或向北的6步中選4步向右，剩下的2步向北，再將向上的3步插入到前6步形成的7個空隙中，所以其行走的最近路線共有N=C46×C22×C37=525條，選B.

評析 凡“其中某幾個元素不相鄰的排列組合應用問題”，都是使用“先排可相連的，后插入不相連的”的“插空法”。

二、所有元素兩兩相同的排列組合應用問題(也叫名額分配問題)

例2 方程x1+x2+x3+x4=7的非負整數解的個數是多少?

分析與解 若定義映射f:(x1，x2，x3，x4)→(y1，y2，y3，y4)(yi=xi+1，i=1，2，3，4)，則f是從方程x1+x2+x3+x4=7的非負整數解集到方程y1+y2+y3+y4=11的正整數解集的一一映射.逆向思維如下:假設方程y1+y2+y3+y4=11的一個正整數解是(y1，y2，y3，y4)=(1，2，5，3)=(1，1+1，1+1+1+1+1，1+1+1)，這相當于將11個“1”排成一行后，用3塊板子將它們隔成4部分，使每一部分至少有1個“1”，所以方程正整數解的個數是N=C310=120，從而方程x1+x2+x3+x4=7的非負整數解的個數也是120.

評析 凡“所有元素兩兩相同的排列組合應用問題(也叫名額分配問題)”，都可以用“隔板法”。

三、其中某幾個元素排列順序固定的排列組合應用問題

例3 墻壁上掛著8個氣球(如圖)，一個神槍手每次選擇一列最下方的一個球射擊(假設每次射擊必中)，則將氣球全部擊完的方式有多少種?

分析與解 逆向思維如下:設左邊3個球由下到上依次是a1，a2，a3;中間2個球由下到上依次是b1，b2;右邊3個球由下到上依次是c1，c2，c3.假設將氣球全部擊完的一種方式是b1，c1，c2，a1，b2，c3，a2，a3，這一方式可看成是將這8個元素進行全排列，且a1，a2，a3;b1，b2;c1，c2，c3分別按照由左到右的固定順序排列.所以將氣球全部擊完的方式有N=A88A33#8226;A22#8226;A33=560種.

評析 凡“其中某幾個元素排列順序固定的排列組合應用問題”，都可以用“等機率法”。

四、可化歸為以上3種問題的排列組合綜合應用問題

例4 某民航站設有A，B，C，D共4個“安檢”入口，每個入口每次只能進1個旅客，一

個小組4人進站的不同方案種數是多少?

分析與解 逆向思維如下:4名旅客用p，q，r，s表示.假設一個小組4人進站的某

一方案是:A“安檢”入口無人通過;B“安檢”入口由q，p依次通過;C“安檢”入口r通過;D“安檢”入口s通過，這一方案可看成先將4個名額分配到A，B，C，D這4個“安檢”入口(相當于求方程x1+x2+x3+x4=4非負整數解的個數)，再將p，q，r，s這4人進行全排列后按照分配到4個“安檢”入口的名額依次進站，所以一個小組4人進站的不同方案種數N=C37×A44=840種.

例5 10個相同的小球放入編號為1，2，3的三個盒子內，若每個盒子內的球數不小于它的編號數，則有多少種不同的放法?

分析與解 逆向思維如下:先將編號為1，2，3的盒子內分別放入0，1，2個小球，這時剩下7個小球放入編號為1，2，3的三個盒子內使得每個盒子內至少1個小球(相當于求方程x1+x2+x3=7正整數解的個數)，所以不同的放法N=C26=15.

例6 用1，2，3三個數字排成一個四位數，每個數字都排上，所得四位數的個數是多少?

分析與解 逆向思維如下:假設所得四位數是，這個數可以看成是231132(31，32這2個元素的順序固定)，所以所得四位數的個數為N=C13A44A22=36.

總之，排列組合解題中的“逆向思維”實質上是“執果索因”的分析方法，它使可用“插空法”，“隔板法”，“等幾率法”來解的一系列排列組合問題有了統一思維方法，并且可以提高我們的抽象思維能力。