數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化解題 水樣的靈動(dòng)

數(shù)學(xué)解題時(shí)，對(duì)所求問題進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后通過思考，將問題進(jìn)行不斷進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化:把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題，從而使問題得到解決。數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化既是一種思想又是一種能力，是歷年高考考查的重點(diǎn)，其變形、轉(zhuǎn)化形式具有水一樣的靈動(dòng)，因此我們必須注重?cái)?shù)學(xué)轉(zhuǎn)化在解題中的應(yīng)用。

一、常量與變量的轉(zhuǎn)化。

在解含多個(gè)參數(shù)問題時(shí)，我們習(xí)慣上把參數(shù)x、y、z作為變量，其他參數(shù)作為常量。這類問題在特定情況下效果不太理想，若轉(zhuǎn)換角度思考，將其他參數(shù)作為變量、參數(shù)x、y、z作為常量，能使問題迎刃而解。其常見方法有:分離變量，主輔元轉(zhuǎn)化等。

(1)關(guān)于x的方程sin2x+cosx+a=0在[0，π]內(nèi)有解，求a的取值范圍。

(2)設(shè)p=x2+(t-2)x-t+1，若t在\\上變化時(shí)，p恒為正值，求x的取值范圍。

分析:(1)此題若直接解關(guān)于x的三角方程，再確定a的范圍，簡直難以下手。但若利用分離變量法:將a作為變量、x作為常量，求a=cos2x-cosx-1=(cosx-12)2-54在x∈\\的取值范圍，問題就簡單易解，通過簡單的計(jì)算，很快得到了a的取值范圍是\\54，1\\〗。

(2)本題中，若視x為變量來處理，同樣既繁且易出錯(cuò)，實(shí)行常變量的轉(zhuǎn)化，使問題變成關(guān)于變量p的一次不等式，使解題簡單易行。

二、一般與特殊的轉(zhuǎn)化

大數(shù)學(xué)家希爾伯特說:“在討論數(shù)學(xué)問題時(shí)，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用，這種方法是解決數(shù)學(xué)困難的最重要的杠桿之一”。這段話深刻地說明了特殊化方法的重要作用:把抽象問題具體化，是數(shù)學(xué)解題中常用的轉(zhuǎn)化途徑。

(3)在正三棱錐S-ABC中，兩側(cè)面所成角的范圍

分析:此題若用常規(guī)思維，不易求解。但若用特殊化的方法:設(shè)三棱錐的高SO無限增大，此時(shí)側(cè)棱可近似看作與底面ABC垂直，則△ABC中的三個(gè)角可看作兩側(cè)面所成角即為π3;同理，當(dāng)SO無限縮短時(shí)，則三個(gè)側(cè)面與面ABC重合，兩側(cè)面所成角為π，綜上兩側(cè)面所成角的范圍為(π3，π)。

(4)若f(x)和g(x)都是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且方程x-f[g(x)]=0有實(shí)數(shù)解，則g[f(x)]不可能是()

A.x2+x-15B.x2+x+15

C.x2-15D.x2+15

分析:本題直接解不容易，不妨令f(x)=x，則f[g(x)]=g(x)，g[f(x)]=g(x)，x-f[g(x)]=0有實(shí)數(shù)解即x-g(x)=0有實(shí)數(shù)解。這樣很明顯得出結(jié)論，B使x-g(x)=0沒有實(shí)數(shù)解，選B

把抽象問題特殊化是在數(shù)學(xué)解題中常用的轉(zhuǎn)化途徑，它對(duì)探索解題思路、探求問題結(jié)論、檢驗(yàn)一般結(jié)果、抽象向具體的轉(zhuǎn)化有著不可替代的作用。

三、數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化。

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)“形”兩個(gè)方面。“數(shù)”與“形”兩者之間并非是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系，數(shù)缺形欠直觀、形少數(shù)難入微。“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題方法。

(5)求函數(shù)f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值。

分析:若換元無法化歸為大家熟悉的二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題.若平方處理式子更是復(fù)雜難解.但注意觀察特征，兩根號(hào)同為x的函數(shù)，適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為幾何問題.

解:將函數(shù)f(x)=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1轉(zhuǎn)化為f(x)=(x-3)2+(x2-2)2-x2+(x2-1)2。而f(x)=(x-3)2+(x2-2)2-x2+(x2-1)2幾何意義是拋物線y=x2上動(dòng)點(diǎn)M(x，x2)(x，y)到點(diǎn)P(3，2)和到點(diǎn)Q(0，1)距離之差。由|MP|-|MQ|≤|PQ|解得:f(x)的最大值為|PQ|=10。

(6)一個(gè)均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，將這個(gè)玩具先后拋擲兩次，試問:

1.向上的數(shù)字之和為5的概率是多少?

2.向上的數(shù)字之和至少是9的概率是多少?

3.向上的數(shù)字之和為多少時(shí)的概率最大?

分析:將正方體玩具先后拋擲兩次可能出現(xiàn)36種結(jié)果，用如圖所示的圖表表示出來，則所有的結(jié)果便盡收眼底，一目了然.

第一次拋擲出現(xiàn)的數(shù)字

數(shù)字和

第二次拋擲出現(xiàn)的數(shù)字

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

解:1.向上的數(shù)字之和為5的概率是P=436=19.

2.向上的數(shù)字之和至少是9的概率是P=1036=818.

3.故向上的數(shù)字之和為7的概率最大，最大概率為P=636=16.

因此，由數(shù)想形，直觀顯現(xiàn);由數(shù)構(gòu)形，抽象為形象。

四、三角換元法。

把代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決。

(7)設(shè)x、y∈R且3x2+2y2=6x，求x2+y2的范圍。

分析:由3x2+2y2=6x得(x-1)2+y232=1，設(shè)x-1=cosαy=62sinα，則

x2+y2=1+2cosα+cos2α+32sin2α=1+32+2cosα-12cos2α

=-12cos2α+2cosα+52∈

所以x2+y2的范圍是:0≤x2+y2≤4。

五、數(shù)學(xué)模型法。

當(dāng)我們面對(duì)陌生新題時(shí)，關(guān)鍵是要考慮將其轉(zhuǎn)化為以前見過的熟識(shí)的解決過的類型題。

(8)某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道，如右圖(1)圖中共有多少個(gè)矩形?(2)從A點(diǎn)走向B點(diǎn)最短的走法有多少?

分析:(1)在7條豎線中任選2條，5條橫線中任選2條，這樣的4條線可以組成1個(gè)矩形;(2)每條東西的街道分成6段，每條南北街道分成4段，從A到B最短的走法，無論怎樣走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同.每種走法，既是從10段中選出6段，這6段是走東西方向，剩下4段是走南北方向.

解:(1)由分析知，可以組成矩形有C27#8226;C25=210(個(gè));(2)由分析知，共有C610#8226;C44=C410#8226;C66=210種走法.

(9)把一塊鋼板沖成上面是半圓形，下面是矩形的零件，其周長是P，怎樣設(shè)計(jì)才能使沖成的零件面積最大?并求出它的最大面積。

分析:這個(gè)實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)函數(shù)的最值問題來解決。

如圖，設(shè)矩形的一邊長為x，則半圓的周長為πx2

矩形的另一邊長為AB=12(P-x-πx2)=2P-(π+2)x4

設(shè)零件的面積為S，則

S=12#8226;π4x2+x#8226;2P-(π+2)x4=-π+48x2+P2x

∵a<0∴當(dāng)x=-b2a=2Pπ+4時(shí)，S有最大值，這時(shí)AB=Pπ+4。

∴當(dāng)矩形的兩鄰邊AB與BC之比為1︰2時(shí)，Smax=P28+π。

六、正難則反轉(zhuǎn)化問題。

當(dāng)問題下面解決困難時(shí)，就可以轉(zhuǎn)化到反面，或者逆向求解，則較為簡單，“正難則反”是一種重要的解題方法。

(10)在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有 個(gè)。

分析:不能被5整除的數(shù)要分類討論，情況較多，這時(shí)我們不妨換一個(gè)角度，從反面入手考慮。注意到不能被5整除實(shí)質(zhì)上是末位數(shù)字不是0，也不是5。用間接法。

所有四位數(shù)有A15#8226;A35=300個(gè)，

末位為0時(shí)有A35=60個(gè)，

末位為5時(shí)有A14#8226;A24=48個(gè)，

∴滿足題意的數(shù)共有300-60-48=192個(gè)。

(11)已知拋物線y=x2+4ax+3，y=x2+(a-1)x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一條與軸相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

分析:若正面考慮問題情況較多，可以轉(zhuǎn)化到反面逆向求解，顯示出既嚴(yán)謹(jǐn)又簡捷的優(yōu)勢(shì)。由Δ1=(4a)2-4(3-4a)<0Δ2=(a-1)2-4a2<0Δ3=(2a)2+8a<0解得-32

再求它的補(bǔ)集，則的取值范圍是:a≤-32或a≥-1

總之，應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套，從而達(dá)到有效解題的目的。