注意隱含條件避免解題錯誤

在解題過程中，如果忽視題目中的隱含條件，往往會造成錯解，現舉例如下:

例1已知lg(x+y)=lgx+lgy，求m=4x+y的范圍。

錯解∵lg(x+y)=lgx+lgy，∴x+y=xy?！鄖=xx-1。

∴m=4x+y=4x+xx-1=4(x-1)+1x-1+5

當0

當x>1時，m=4x+y=4(x-1)+1x-1+5≥9。

所以m的取值范圍是(-∞，1]∪[9，+∞)。

剖析不但要知道用重要不等式求解本題，而且還要知道應用重要不等式是有條件的。由已知知x>0，只對x與1的大小進行討論，分01進行討論。但忽視了原題中的y=xx-1>0這個隱含條件，造成錯誤。當y>0時，xx-1>0，

因為x>0，所以x>1。因此m=4x+y=4(x-1)+1x-1+5≥9。當且僅當4(x-1)=1x-1，

即x=32時取等號，所以m的取值范圍是[9，+∞)。

例2已知sinx+siny=13，求sinx—cos2y的最大值和最小值。

錯解∵sinx+siny=13，∴sinx=13-siny，

∴sinx—cos2y=13-siny+sin2y-1=(siny-12)2-1112.

當siny=12時，m有最小值-1112，當siny=-1時，m有最大值43。

剖析造成此題錯誤的原因是忽視了sinx=13-siny∈，當siny=-1時，sinx=43是不可能的。

正解∵sinx+siny=13，∴sinx=13-siny。

∴sinx—cos2y=13-siny+sin2y-1=(siny-12)2-1112.

∵-1≤sinx≤1，∴-1≤sinx≤1，∴-1≤13-siny≤1，從而-23≤siny≤1。

∴當siny=-23時，m有最大值49，當siny=12時，m有最小值-1112。

例3各項均為實數的等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10=10，S30=70，求S40。

錯解許多資料多用“若數列{an}為等比數列，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比數列”這一性質來解本題。

設A1=S10=a1+a2+a3+…+a10①

A2=S20-S10=a11+a12+a13+…+a20②

A3=S30-S20=a21+a22+a23+…+a30③

…

由于數列{an}為等比數列，則A1，A2，A3，…也成等比數列，

∴A22=A1A3，即(S20-S10)2=S10#8226;(S30-S20)

∴(S20-10)2=10#8226;(70-S20)

即∴S202-10S20-600=0故S20=-20，或S20=30。

當S20=-20時，A2=S20-S10=-30，則數列{An}的公比Q=A2A1=-3010=-3，

從而A4=A1Q3=10(-3)3=-270，即S40-S30=-270，

∴S40=S30-270=70-270=-200。

當S20=30時，A2=S20-S10=30-10=20，得數列{An}的公比Q=A2A1=2010=2

從而A4=A1Q3=10#8226;23=80，即S40-S30=80，S40=S30+80=70+80=150。

剖析上述解過程看似嚴謹規范，其實也是一個錯誤的解法。

設數列{an}的公比為，則A2A1=②÷①=q10>0，所以A1、A2同號。又A1>0，所以A2=A1q10>0，故有S20=30，錯解中的S20=-20應舍去。

由此不難發現:由于Q=q10>0，所以錯解中由Q=-3得出的S40=S30-270=70-270=-200是沒有意義的。因此在運用一些性質解題時，一定要注意其成立的隱含條件，切不可濫用性質，誤入歧途。