求解三角問題的統一策略

三角問題中涉及到多種不同形式或大小的角、多種函數名稱、多種運算形式，需要的公式多、拓展性強、應用靈活，這都給求解三角形問題帶來一定的困難.教學中若能注意滲透對立統一觀點，并運用這一觀點指導尋求解題思路，往往能使解題變得有章可循.具體做法是:觀察分析差異，并從最顯眼的差異入手，設法通過變角、變名或變式等手段尋找聯系，有目的地選擇運用公式促進矛盾雙方的相互轉化，以求達到和諧統一，即找差異、尋聯系、促轉化、求統一.下面針對三角中的一些典型問題分類說明.

1.求值問題

1.1知角求值

遵循大角向小角統一、非特殊角向特殊角統一或向其中某一個角統一，減少非特殊角的個數，以便正負抵消或約分相消.

例1(2006年江蘇高考題)cot20°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=.

解:大角向小角統一:70°=90°-20°，正、余切向正余弦統一.

原式=cot20°cos10°+3sin10°cot20°-2cos40°

=cot20°(cos10°+3sin10°)-2cos40°

=2cos20°sin20°(sin30°cos10°+cos30°sin10°)-2cos40°

=2cos20°sin20°sin40°-2cos40°=4cos220°-2(2cos220°-1)=2.

另解，通過切化弦，減少非特殊角個數，向10°統一:70°=60°+10°，20°=30°-10°，

40°=30°+10°，亦可獲解.

1.2知值求值

在觀察已知與所求角度、函數名稱及運算等差異的基礎上，盯住目標，設法尋找聯系，消除差異，求得統一.

例2(2006年重慶卷)已知α，β∈(3π4，π)，sin(α+β)=-35，sin(β-π4)=1213，則cos(α+π4)=.

解:已知與所求的主要差異是角度的差異，尋找它們的聯系。變角:將所求角向已知角統一，α+π4=(α+β)-(β-π4)，

由已知可得:cos(α+β)=45，cos(β-π4)=-513，

則cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)=-5665

例3(2007江蘇高考題)若cos(α+β)=15，cos(α-β)=35，則tanαtanβ=.

解:已知向所求統一，先統一角度:α±β→α、β(展開);再統一函數名稱:弦→切(相除):

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=15，

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=35，

可得:sinαsinβ=15，cosαcosβ=25，相除即得:tanαtanβ=12.

2.證明問題

2.1三角恒等式的證明

其實質是在分析左右(角度、函數名稱、運算)差異的基礎上，實施有效變形，直至消除差異的過程，從不同的差異入手，或變角或變名或變式，往往可以獲得多種不同的證法.因而化繁為簡，左右歸一等方法便應運而生.

例4(人教版三角恒等變換復習參考題)證明:1+sin2α2cos2α+sin2α=12tanα+12.

證法一:化繁為簡:先統一角度2α→α，然后統一名稱:弦化切.

左邊=1+2sinαcosα2cos2α+2sinαcosα=sinα+cosα22cosαcosα+sinα=sinα+cosα2cosα

=12tanα+12=右邊.

證法二:左右歸一:既統一名稱又統一角度，將正切轉化為正余弦，將2α→α.

右邊=12sinαcosα+12=sinα+cosα2cosα(先從簡單的一邊入手，尋找中間目標)，

左邊=1+2sinαcosα2cos2α+2sinαcosα=sinα+cosα22cosαcosα+sinα=sinα+cosα2cosα，

從而，左邊=右邊.

2.2條件等式的證明

其實質是消除已知與所證的差異，求得和諧統一。其證明策略是在分析已知條件與求證式、求證式左右兩端差異的基礎上，尋找聯系，實現已知向所證的統一.

例5已知sin(2α+β)=-2sinβ，求證:tanα=3tan(α+β).

證明:抓住角的差異:已知式中的角是2α+β、β，而求證式中的角是α+β、α，因此:

將已知式中的角向所證式中的角統一而變角:2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α，

由已知得:sin[(α+β)+α]=-2sin[(α+β)-α]，

sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=-2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα即:3sin(α+β)cosα=cos(α+β)sinα，

兩邊同除以cos(α+β)cosα，即得證.

3.化簡問題

遵循有利于相消的原則，逐步統一角度、統一函數名稱、統一運算，以便于正負相消或約分相消，從而達到化簡之目的.

例6化簡sin2αsin2β+cos2αcos2β-12cos2αcos2β.

解法一:可以從角入手，將2α→α，2β→β，實現角的統一，將余弦化為正弦，實現名稱的統一.

原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)(1-sin2β)-12(1-2sin2α)(1-2sin2β)

=sin2αsin2β+1-sin2β-sin2α+sin2αsin2β

-121-2sin2β-2sin2α+4sin2αsin2β=12.

解法二:從“冪”入手，利用降冪公式降冪，在實現次數統一的同時也實現了單角向倍角的統一:

原式=14(1-cos2α)(1-cos2β)+14(1+cos2α)(1+cos2β)-12cos2αcos2β

=141-cos2β-cos2α+cos2αcos2β+141+cos2α+cos2β+cos2αcos2β-12cos2αcos2β=12.

4.三角函數性質問題

在研究三角函數的單調性、奇偶性、周期性，求對稱中心、對稱軸及最值(值域)問題時，只要將所給表達式向y=Af(ωx+φ)+B的形式統一，便可利用基本三角函數的性質，借助換元思想使問題迎刃而解，這里的f為正、余弦及正、余切函數中的一種.由于在這一形式中函數名稱僅有一個且指數為一次、角度只有一個(ωx+φ)，因此筆者稱這一過程為“函數歸一”.

例7(2008年安徽(理)高考題)已知函數f(x)=cos(2x-π3)+2sin(x-π4)sin(x+π4)，

(Ⅰ)求函數f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程:

(Ⅱ)求函數f(x)在區間[-π12，π2]上的值域.

解:明確化簡目標:Af(ωx+φ)+B的形式

(Ⅰ)∵f(x)=cos(2x-π3)+2sin(x-π4)sin(x+π4)

=12cos2x+32sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x=12cos2x+32sin2x-cos2x

=sin(2x-π6)，

∴周期T=2π2=π，

由2x-π6=kπ+π2(k∈z)，得函數圖象的對稱軸方程為x=k2π+π3(k∈Z);

(Ⅱ)∵x∈[-π12，π2]，∴2x-π6∈[-π3，5π6]，觀察函數y=sint在t∈[-π3，56π]上的單調性可見:當t=π2，即x=π3時，f(x)取得最大值1;當t=-π3，即x=-π12時，f(x)取得最小值-32.所以函數f(x)在區間[-π12，π2]上的值域為[-32，1].

5.三角形中的三角問題

這類問題的條件中往往既有邊又有角，策略是努力實現邊與角的統一，即利用正余弦定理化邊為角或化角為邊，從而使問題獲解。一般地，邊的齊次式與相應角的正弦的齊次式可以相互轉化.

例8(2009年上海卷文)已知ΔABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量m=(a，b)，n=(sinB，sinA)，p=(b-2，a-2).

(1)若m∥n，求證:△ABC為等腰三角形;

(2)若m⊥p，邊長c=2，角C=π3，求△ABC的面積.

(1)分析:由m∥n得:asinA-bsinB=0①

證法一:邊向角的統一.

由正弦定理得:a=2RsinA，b=2RsinB，代入①可得:sinA=sinB，

∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴A=B或A+B=π(舍)，

從而△ABC為等腰三角形得證;

證法二:角向邊的統一.

由正弦定理得:sinA=a2R，sinB=b2R，代入①可得:a=b，

從而△ABC為等腰三角形得證;

(2)解略

例9(2009年全國卷Ⅰ理)在ΔABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b.

解:利用正余弦定理分別把角轉化為邊，實現角向邊的統一.

由已知可得:aa2+b2-c22ab=3b2+c2-a22bcc化簡并整理得:2(a2-c2)=b2，又由已知a2-c2=2b，∴4b=b2，解得b=4或b=0(舍).

誠然，在求解三角問題時既要注意其特殊性，即“找差異，求統一”，又要遵循研究函數的一般方法，當運用上述方法受阻時，就應當回到更大的背景(一般函數)中去思考.