談抽象函數的對稱性與周期性

抽象函數的對稱性與周期性在試卷命題中常常結合出現，筆者發現，他們之間有以下幾種考查模式，在此總結一下并提供換元法證明，以求拋磚引玉。

1.“點點”對稱

設函數f(x)定義域為R，圖像關于點A(a，0)和B(b，0)(a≠b)對稱，則函數f(x)的周期為2(b-a).

證明:∵函數f(x)圖像關于點A(a，0)和B(b，0)(a≠b)對稱，

∴對x∈R有f(x)=-f(2a-x)，f(x)=-f(2b-x)，

∴f(2a-x)=f(2b-x)，

令t=2a-x，則x=2a-t，2b-x=t+2b-2a，

∴f(t)=f[t+(2b-2a)]，

即f(x)=f[x+2(b-a)]恒成立，

∴函數f(x)的周期為2(b-a).

2.“點線”對稱

設函數f(x)定義域為R，圖像關于點A(a，0)和直線x=b(a≠b)對稱，則函數f(x)的周期為4(b-a).

證明:∵函數f(x)圖像關于點A(a，0)和直線x=b(a≠b)對稱，

∴對x∈R有f(x)=-f(2a-x)，f(x)=f(2b-x)恒成立，

∴-f(2a-x)=f(2b-x)，

即f(2a-x)=-f(2b-x)，

令t=2a-x，則x=2a-t，2b-x=t+2b-2a，

∴f(t)=-f[t+2(b-a)]……①

將上式中的t用t+2(b-a)替換得:

f[t+2(b-a)]=-f[t+4(b-a)] ……②

∴由①②對x∈R有

f(x)=-f[x+2(b-a)]……③

f[x+2(b-a)]=-f[x+4(b-a)]……④

∴由③④得f(x)=f[x+4(b-a)]恒成立，

∴函數f(x)的周期為4(b-a).

3.“線線”對稱

設函數f(x)定義域為R，圖像關于點x=a和直線x=b(a≠b)對稱，則函數f(x)的周期為2(b-a).

證明:∵函數f(x)圖像關于點x=a和直線x=b(a≠b)對稱，

∴對x∈R有f(x)=f(2a-x)，f(x)=f(2b-x)恒成立，

∴f(2a-x)=f(2b-x)，

令t=2a-x，則x=2a-t，2b-x=t+2b-2a，

∴f(t)=f[t+2(b-a)]，

∴函數f(x)的周期為2(b-a).

4.“偶線”對稱

設偶函數f(x)定義域為R，圖像關于點x=a對稱，則函數f(x)的周期為2a.

證明:∵函數f(x)圖像關于點x=a對稱，

∴對x∈R有f(x)=f(2a-x)恒成立，

又函數f(x)為偶函數，

∴對x∈R有f(x)=f(-x)恒成立，

∴f(2a-x)=f(-x)，

令t=-x，

∴f(t)=f(t+2a)，

∴函數f(x)的周期為2a.

5.“奇線”對稱

設奇函數f(x)定義域為R，圖像關于點x=a對稱，則函數f(x)的周期為4a.

證明:∵函數f(x)圖像關于點x=a對稱，

∴對x∈R有f(x)=f(2a-x)恒成立，

又函數f(x)為奇函數，

∴對x∈R有f(x)=-f(-x)恒成立，

∴f(2a-x)=-f(-x)，

令t=-x，

∴f(t)=-f(t+2a)……①

將上式中的t用t+2a替換得:

f(t+2a)=-f(t+4a)……②

∴由①②對x∈R有:

f(x)=-f(x+2a)……③

f(x+2a)==-f(x+4a)……④

∴由③④得f(x)=f(x+4a)恒成立，

∴函數f(x)的周期為4a.

因此，在學習和復習函數的對稱性和周期性時，了解對稱性對周期性的作用，可借助于數形結合，實現復雜問題簡單化.