導數求函數極值點的注意點

高中教材上極大值的定義:“函數圖象在點P處從左側到右側由“上升”變為“下降”，(函數由單調遞增變為單調遞減)，這是在點P附近，點P的位置最高。也就是說f(x1)比它附近點的函數值都要大，我們稱f(x1)為函數的一個極大值。”從這個定義可以看出要判斷函數f(x)在x=x0處是否取得極值，主要看函數在這一點兩側附近的單調性是否相反.

教材的安排給我們的教師和學生一種潛意識，那就是求函數的極值點，先求導數，令導數等于0，列表判斷.我們一定會認為在極值點處的導數一定等于0。但事實并非如此.

例1:y=|x|，x∈R在x=0處左側函數單調遞減，右側單調遞增，因此x=0應該是函數的一個極小值點。從圖象來看很明顯x=0的附近的點處的函數值都比0大，所以f(0)是函數的一個極小值.讓我們來研究函數在這點處的導數情況.

原函數可化為:y=x(x≥0)-x(x≤0)，導函數為:y′=1(x≥0)-1(x≤0)。在x=0處左側的導數為-1，右側的導數為1，兩側導數不相等，因此函數在x=0處導數不存在.但是x=0是函數的一個極值點.故極值點處的導數可能等于0，也可能不存在.

這不就與課本上的定義矛盾嗎?不矛盾，我們課本上所研究的函數都是可導函數，對于可導函數有這樣的結論:極值點處的導數等于0;對于不可導函數，極值點可能是導數等于0的點，也可能是導數不存在的點.那么哪些函數是不可導函數?我們現在接觸到的不可導函數主要有分段函數，分段函數在分界點處不一定可導.因此對于分段函數求極值點時要注意分界點是否為極值點.

例2:求函數y=x|x(x-3)|+1的極值.

解:原函數可化為y=x2(x-3)+1(x≥3或x≤0)-x2(x-3)+1(0≤x≤3)，

導函數為y′=3x2-6x(x≥3或x≤0)-3x2+6x(0≤x≤3)，

(1)當x≥3或x≤0時令y′=0，解得x=0或x=2，

x=2舍去，在x=0的左側y′>0.

(2)當0≤x≤3時，令y′=0，解得x=0或x=2，

在x=0的右側y′>0，x=2的左側y′>0，右側y′<0，

有(1)、(2)可知，x=0不是極值點，x=2是極大值點.那么函數是否就只有一個極值點呢?不是，函數在x=3的左側的導數y′<0，右側的導數y′>0，所以x=3也是函數的極小值點.而函數在x=3處的導數不存在，因為從x=3的左側來看，y′|x=3=-9，從x=3的右側來看y′|x=3=9，所以x=3的左導數不等于右導數，故函數在x=3處的導數不存在.即函數在x=3處不可導，也稱此函數為不可導函數.

因此我們要注意分段函數在分界點是否為極值點，那么我們為防止少解還有一個方法就是列表。本題列表如下:

x(-∞，0)0(0，2)2(2，3)3(3，+∞)

y′+0+0—不存在+

y增1增極大值5減極小值1增

對于可導函數求極值的步驟如下:

(1)確定函數的定義域;

(2)求導數f′(x);

(3)令f′(x)=0，求根;

(4)列表判斷每個根是否為極值點.

對于不可導數，我們要判斷不可導點是否是極值點，判斷這一點兩側的導數的符號是否異號.我們可以在可導函數求極值的步驟的最后一步列表時將不可導點也列進去。注意不可導就是函數在這一點的導數無意義或在這一點的左、右導數不相等.

上面主要講述了極值點處的導數不一定等于0，那么導數等于0的點是不是極值點?答案是不一定，例如:y=x3，當x=0時，y′=0，但是(0，0)點不是極值點，因為在x=0左、右兩邊的導數都是大于0.因此求極值點時，令f′(x)=0，求根，檢驗.對于多項式函數我們有個判斷方法。令f′(x)=0，看它的根是否是偶次重根，若是那么這個點就不是極值點，否則就是極值點.

總之，可導點不一定是極值點;不可導點也不一定不是極值點.