一道高考證明題的啟示

99年全國高考物理試卷中有一道要求用牛頓定律推導出動量守恒定律表達式的題目，充分體現了高考對學生基本素質和基本能力的考查。時隔8年，在07年的江蘇高考物理試卷中再次出現了對教材上基本證明題的遷移考查。該試卷第16題的第(3)小問，是一道關于“簡諧運動”的證明題。

07江蘇高考16題:如圖1所示，帶電量分別為4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑絕緣細桿上，相距為d。若在桿上套一帶電小環C，帶電體A、B和C均可視為點電荷。

(1)求小環C的平衡位置。

(2)若小環C帶電量為q，將小環拉離平衡位置一小位移x(xd)后靜止釋放，試判斷小環C能否回到平衡位置。(回答“能”或“不能”即可)

(3)若小環C帶電量為-q，將小環拉離平衡位置一小位移x(xd)后靜止釋放，試證明小環C將作簡諧運動。(提示:當a<<1時，則(1+a)-n≈1-na)

圖1

解析:(1)解略，答案為小環C在AB連線的延長線上距離B球d處達到平衡。

(2)不能(可用特殊值試探求解)。

(3)環C帶電-q，平衡位置不變，拉離平衡位置一小位移x后，C受力為(取向右方向為正方向):FC=-4kq2(2d+x)2+kq2(d+x)2

利用近似關系化簡得:FC=-4kq2(1-2x2d)4d2+kq2d2(1-2xd)=-kq2d3x

符合簡諧運動的特征方程F=-kx，所以小環C將做簡諧運動

該題在試卷中屬中檔的計算證明題，其中第(1)、(2)問為第(3)問的證明已作鋪墊，呈現遞進關系，加之提供近似公式，運用庫侖定律、共點力的合成及簡諧運動的特征方程，即可證明。只要思路清晰，不在數學計算上設關卡難為考生，體現的是對物理規律的考查。現就相關簡諧運動的證明題作一探討，以期在新課教學和考前復習中為同學們提供一些參考和幫助。

關于某一機械振動是否是簡諧運動的判斷或證明，通常從以下幾個角度出發:(1)利用簡諧運動的特征方程F回=-kx，從大小和方向兩個層面尋找回復力F回和位移x的關系，如滿足F回=-kx形式，即可證明其是簡諧運動;(2)利用位移方程x=Asin(ωt+φ)形式證明;(3)利用振動圖象:若x-t圖形為正(余)弦曲線即可證明;(4)尋找加速度a與位移x的關系:a=-kmx(同樣考慮大小和方向兩個層面)。

現對高中物理教學中的幾種模型歸納分析如下(主要應用上述方法1來說明):

一、彈簧振子模型

圖2

例1 如圖2所示，在光滑水平面上將一彈簧振子由平衡位置向右拉開一小段位移x后釋放，已知彈簧的勁度系數為k，試證明振子作簡諧運動。

證明:取水平向右方向為正方向。在位移為x的A處釋放時，振子所受回復力滿足:F回=-kx。所以振子作簡諧運動。

類似問題如下表中所示:

題目

1.一個小球懸掛在一個豎直的輕質彈簧上，當它平衡后再用力向下拉伸一小段距離x輕輕釋放，使小球上下振動

2.質量為m的物體放在下端固定的輕質彈簧上端，現用力將物體豎直向下壓一小段距離x后釋放

3.勁度系數為k的輕質彈簧連著一個質量為m的小球，置于傾角為θ的光滑斜面上，當它平衡后，再用力向下拉伸一小段距離x輕輕釋放，使小球沿斜面振動

4.彈簧類變形:一個立方體木塊漂浮在水面上，木塊邊長為a，水密度為ρ，現將木塊稍向下壓一小位移x后放手，不計水的粘滯阻力

示意圖

回復力來源重力和彈力的合力重力和彈力的合力重力的分力和彈力的合力重力和浮力的合力

判斷依據F回=-kxF回=-kxF回=-kxF回=-ρga2x

思維方法等效類比法

結論以上振動均是簡諧運動(請讀者自己證明)

二、單擺模型

例2 如圖3所示，已知單擺的擺長為l，擺球質量為m，現將擺球拉離豎直方向θ角(θ≤50°)由靜止釋放，試證明擺球作簡諧運動。

證明:在擺角θ很小時，sinθ≈θ≈xl，又回復力F=G1=-mgsinθ，所以有F=-mgl×x(x表示擺球偏離平衡位置的位移)故擺球作簡諧運動。

拓展練習1:如圖4所示，一小段光滑圓弧長為l(lR)，一小球在圓弧上圖示位置由靜止釋放，試證明小球在光滑圓弧軌道上作簡諧運動。

拓展練習2:如圖5所示為一雙線擺，兩根輕細線長均為L，均系于水平天花板上，擺球的大小可忽略不計。擺球靜止時，細線與天花板間的夾角為α。當擺球在垂直紙面方向上稍受一小干擾后，便在垂直紙面的方向上振動，試證明小球在垂直于紙面的豎直平面內作簡諧運動。

點評:用列表形式，將拓展練習1、2與例2作一比較:

受力情況回復力來源近似計算等效類比

例2拉力、重力

拓展1支持力、重力

拓展2兩個拉力、重力

重力沿圓弧切

線方向上的分力mgsinθ

sinθ≈θ≈xl

拉力

支持力

兩個拉力的合力

三、點電荷模型

例3 (見本文開頭07年江蘇高考16題)

拓展練習3:如圖6所示，水平放置的光滑絕緣細桿上固定兩帶電量為+Q的小球A、B，A、B間距離為d。在桿中央套一帶電小環C，電量+q，現將環向右拉離中央位置x距離后由靜止釋放，xd，試判斷環C是否做簡諧運動，說明理由。(帶電體A、B和C均可視為點電荷)

拓展練習4:如圖7所示，在上題中若A、B球分別帶+4Q、+Q電量。問:(1)環C在何處能達到平衡?(2)沿桿方向稍有一干擾，試問環C將做何種運動?說明理由。

圖(6)圖(7)

以上兩道拓展練習題的證明與07年江蘇高考16題的證明思路類比，請讀者自己動手做一做(拓展練習3、4中環C均作簡諧運動)。