函數零點中參數取值的求解

高中新課標下的函數的零點主要解決三個方面問題:一、連續函數零點的存在性;二、連續函數零點個數的判定;三、求連續函數零點的近似解(二分法).在以上三個問題的考查中，常常涉及到參數取值范圍的求解，主要從問題的逆向方面進行考查，因此，大多數學生考慮不全面甚至無從下筆.這類問題是目前新課標下高考的重點、難點、熱點，如何引導學生解決這類問題?筆者認為應從兩方面入手.

一、深刻理解連續函數零點判定定理

連續函數零點判定定理:如果函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖像是連續不斷地一條曲線，并且有f(a)#8226;f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點.因此f(a)#8226;f(b)<0是函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點的充分條件，但并不是必要條件.例如:f(x)=x2-2x-3在區間(-2，4)內有零點-1和3，但f(-2)#8226;f(4)>0.因此，在定理中，f(a)#8226;f(b)<0是函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點的充分不必要條件，并不是充要條件.

二、充分掌握數學思想方法

(一)化歸的思想方法

所謂化歸的思想方法，就是在研究和解決有關數學問題中采用某種數學手段將問題通過變化使之轉化，進而得到解決的一種方法.

【例1】 已知函數f(x)=x2-mx+2m-2，若函數f(x)在[0，32]上存在零點，求實數m的取值范圍.

解:∵0≤x≤32，∴x2-mx+2m-2=0，即m=x2-2x-2.設函數g(x)=x2-2x-2，f(x)在[0，32]上存在零點，∴x2-mx+2m-2=0在[0，32]有解，∴求m的取值范圍化歸為求函數g(x)=x2-2x-2(x∈[0，32])的值域.

g′(x)=x2-4x+2(x-2)2，令g′(x)=0，∴x=2±2.

當x∈[0，2-2)時，g′(x)>0;當x∈(2-2，32]時，g′(x)<0.

又∵g(2-2)=4-22，g(0)=1，g(32)=-12，

∴-12≤g(x)≤4-22，∴-12≤m≤4-22.

點評:學生在思考此題時，往往從分類討論的角度尋求解題思路，解法較為復雜，很難兼顧全面.此題利用化歸的思想方法將參數的取值范圍轉化為函數的值域問題，從而實現化難為易、化繁為簡的目的.

(二)分類討論的思想方法

分類討論的基本思路是“化整為零，各個擊破”.

【例2】 若函數f(x)=2ax2-x-1在區間[-1，1]上有且只有一個零點，求實數a的取值范圍.

解:f(x)=2ax2-x-1在區間[-1，1]上有且只有一個零點，∴方程2ax2-x-1=0在區間[-1，1]上有且只有一個根.

(1)當a=0時，方程的根x=-1，∵x∈[-1，1]，∴a=0符合題意;

(2)當a≠0，Δ=0時，a=-18，方程的根x=-2[-1，1]，∴a=-18不符合題意;

(3)當a≠0，Δ>0時，方程在區間[-1，1]上有且只有一個根，即f(-1)#8226;f(1)≤0，∴0

綜合(1)(2)(3)知，a的取值范圍為0≤a≤1.

點評:此題與例1有很大的差異性，已知零點的個數求參數的取值范圍不適合例1中化歸的思想方法.此題在分類討論中要保證分類科學、統一，力爭做到不重復、不遺漏.

(三 )數形結合的思想方法

【例3】 若函數f(x)=|x2-4x|+a有4個零點，求實數a的取值范圍.

解:函數f(x)=|x2-4x|+a有4個零點方程|x2-4x|+a=0有4個根方程|x2-4x|=-a有4個根.

設函數g(x)=|x2-4x|，m(x)=-a，∴方程|x2-4x|=-a有4個根函數g(x)和m(x)的圖像有4個交點.函數g(x)=|x2-4x|與m(x)=-a的圖像如下圖所示:

從圖像可知，0<-a<4，即-4

點評:此題與例2類似，但若利用分類討論的思想方法不知從何角度分類，而利用數形結合的思想方法從圖像可直觀地看出交點的個數，從而實現問題的求解.

通過以上的分析知，在深刻理解連續函數零點判定定理的條件下，充分利用數學思想方法，合理選擇數學思想方法，就能準確無誤地求出與函數零點有關的參數取值范圍.

(責任編輯 金 鈴)