例說乘法公式的活學活用

乘法公式的應用十分廣泛，我們不僅要掌握每一個公式的結構特征，學會直接應用公式，而且要拓寬思路，學會觀察，做到活學活用乘法公式.

一、題目變形，套用公式

有些題目，雖然不能直接運用某一公式，但它以某一公式為基礎，能從中看到某一公式的“影子”，這時，一般的做法是把題目進行適當變形后套用公式.

【例1】 計算(x+y)2(x-y)2(x2+y2)2.

分析:先將原式中乘方的積化成積的乘方，再用公式.

解:原式=[(x+y)(x-y)(x2+y2)]2

=[(x2-y2)(x2+y2)]2

=(x4-y4)2

=x8-2x4y4+y8.

【例2】 計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).

分析:因為(2-1)=1，所以，前面配上因式(2-1)既不改變原式的值又能連續運用平方差公式.

解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)

=216-1

=65535.

【例3】 計算20002-1999×2001

解:原式=20002-(2000-1)(2000+1)

=20002-20002+1

=1.

二、公式變形，活用公式

熟練掌握乘法公式后，可以把公式合理變形并靈活運用.常見的公式變形有:

(1)(a+b)2=(a-b)2+4ab;

(2)a2+b2=(a+b)2-2ab;

(3)a2+b2=(a-b)2+2ab;

(4)(a+b)2-(a-b)2=4ab.

【例4】 已知(x-y)2=5，(x+y)2=7，求xy的值.

解:∵(x+y)2-(x-y)2=4xy，

且(x-y)2=5，(x+y)2=7，

∴4xy=7-5，∴xy=12.

【例5】 已知x+y=5，xy=3，求(x-y)2的值.

解:∵x+y=5，xy=3，

∴(x-y)2=(x+y)2-4xy

=52-4×3

=13.

【例6】 已知x+1x=4，求x2+1x2的值.

解:x2+1x2=(x+1x)2-2x#8226;1x=16-2=14.

三、把握特征，推廣公式并運用

掌握了課本上的幾個公式后，注意對公式進行推廣，這樣既深化了所學知識，又能為解題帶來很大方便.常見的推廣公式有:

(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;

(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;

(3)(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

【例7】 已知a3+b3=9，a+b=3，求ab的值.

解:∵a+b=3，

∴(a+b)3=27，

即a3+3a2b+3ab2+b3

=a3+b3+3ab(a+b)=27，

∴9+3ab(a+b)=27，

∴ab=2.

【例8】 當a+b+c=0，a2+b2+c2=1時，求ab+bc+ac的值.

解:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)，

∴ab+bc+ac

=12[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]

=12(0-1)

=-12.

(責任編輯 金 鈴)