伯努利概型的應用舉隅

獨立重復試驗模型稱為伯努利概型，是概率中的一個典型問題，在應用中要準確把握獨立和重復這兩個基本特征，靈活運用這個概型分析解決問題.

【例1】 甲、乙兩人一次投籃命中率都是0.6，現每人各投3次，求兩人共投中4次的概率.

分析:甲、乙兩人及每人的各次投籃之間均相互獨立，互不影響，且投籃命中率相同，因此，兩人各投籃3次，可看作是同一個人投籃6次，從而轉化為伯努利概型.

解:設兩人6次投籃共投中x個，則x∽B(6，0.6)，

∴P(x=4)=P6(4)=460.64(1-0.6)2=0.7776.

【例2】 甲、乙兩射手擊中目標的概率分別是0.9和0.8，他們各自連打3槍，比擊中目標的次數，求乙取勝的概率.

分析:甲、乙兩人的射擊分別都滿足獨立重復試驗模型，因此，此題中存在著兩個并列的伯努利概型.

解:設甲擊中目標的次數為x，乙擊中目標的次數為y，易知x∽B(3，0.9)，y∽B(3，0.8)，則

P(乙勝)=P3(y=1)P3(x=0)+P3(y=2)[P3(x=0)+P3(x=1)]+P3(y=3)[P3(x=0)+P3(x=1)+P3(x=2)]=0.1496.

【例3】 一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響.假設該時刻有ξ部電話占線.試求隨機變量ξ的概率分布和它的期望.

分析:根據題意，A、B兩部電話占線相互獨立且概率相同，它們中占線電話的數目服從伯努利概型，同理C、D中占線電話的數目也服從伯努利概型，兩者聯合起來即可求出ξ的概率分布.

解:設A、B中占線電話的數目為x，C、D中占線電話的數目為y，則x∽B(2，0.5)，y∽B(2，0.4).

P(ξ=0)=P(x=0)P(y=0)=0.52×0.62=0.09;

P(ξ=1)=P(x=1，y=0)+P(x=0，y=1)=0.3;

P(ξ=2)=P(x=2，y=0)+P(x=1，y=1)+P(x=0，y=2)=0.37;

P(ξ=3)=P(x=2，y=1)+P(x=1，y=2)=0.2;

P(ξ=4)=P(x=2，y=2)=0.04.

于是得到隨機變量ξ的概率分布列為:

ξ

0

1

2

3

4

P

0.09

0.3

0.37

0.2

0.04

∴E(ξ)=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

【例4】 某安全生產監督部門對5家小型煤礦進行安全檢查，若安檢不合格，則必須整改，若整改后仍不合格，則強制關閉.設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率都是0.5，整改后安檢合格的概率都是0.8，求:(結果精確到0.01)

(1)恰好有兩家煤礦必須整改的概率;

(2)某煤礦不被關閉的概率;

(3)至少關閉一家的概率.

分析:由題意可知，必須整改的煤礦數目服從伯努利概型B(5，0.5).又由于兩次安檢各家煤礦均相互獨立，且每次檢查合格的概率均相同，綜合前后兩次安檢，各家煤礦被關閉的概率也相同，同樣滿足獨立重復試驗模型，從而適用伯努利概型.因此，此題一個伯努利概型中包含著另一個伯努利概型，環環相扣，緊密聯系.

解:(1)設必須整改的煤礦數目為x，則

P(x=2)=P5(2)=250.52(1-0.5)3=0.3125≈0.31.

(2)P(某煤礦不被關閉)=P(第一次安檢合格)+P(第一次安檢不合格且整改后合格)=0.5+0.5×0.8=0.9.

設被關閉的煤礦數目為y，結合(2)可知y∽B(5，0.1)，∴P(至少關閉一家煤礦)=P(y≥1)=1-P5(0)=1-0.95≈0.41.

【例5】 A、B是治療同一種疾病的兩種藥物，用若干試驗組進行對比試驗.每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另兩只服用B，然后觀察療效.若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠數目比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組，設每只小白鼠服用A有效的概率為23，服用B有效的概率為12.

(1)求一個試驗組為甲類試驗組的概率;

(2)觀察3個試驗組，用ξ表示這3個組中甲類試驗組個數，求ξ的分布列和數學期望.

分析:由題意知一個試驗組中服用A有效的小白鼠只數和服用B有效的小白鼠只數分別服從伯努利概型B(2，23)和B(2，12).結合(1)的結論，總的來看，每個試驗組是否為甲類試驗組相互獨立且概率相等，因此3個試驗組中甲類試驗組的數目也服從伯努利概型.此題中有3個伯努利概型，其中1個伯努利概型中包含著2個并列的伯努利概型.

解:略.

(責任編輯 金 鈴)