送你三招判“軌跡”

要判定動點的軌跡是什么圖形，應根據題目的具體條件，采用不同的方法.下面，給出三招判定動點軌跡的形狀的方法，可以起到簡化問題，開闊思路，化繁為簡的作用.

第一招:根據方程判軌跡

先求出動點的軌跡方程，再加以判斷，這是一種常用的方法.

【例1】已知一條長為6的線段兩端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，點M在線段AB上，且BM[TX→]=2MA[TX→]，求動點M的軌跡.

解: 設A(a，0)、B(0，b)、M(x，y)，∵|AB|=6，

∴a2+b2=36. ①

又BM[TX→]=2MA[TX→]，∴(x-0，y-b)=2(a-x，0-y)，

∴a= 3 2 x，b=3y. ②

將②式代入①式化簡得: x2 16 + y2 4 =1.

所以M點的軌跡是橢圓.

第二招:活用定義判軌跡

有一些題目，直接求軌跡方程不好求，而活用定義判定動點軌跡的形狀，則可以起到事半功倍的作用.

【例2】已知直線l垂直于平面α，交點為O，線段MN的長為4，當M點在直線l上運動，N點在平面α內運動時，線段MN的中點P的軌跡是什么?

解: 當M點或N點與O點重合時，則|OP|= 1 2 #8226;|MN|=2.當M、N兩點都不與O點重合時，連結ON、OP，因為l垂直于平面α，所以OM⊥ON，所以OP為Rt△MON的斜邊MN的中線，所以|OP|= 1 2 |MN|=2.綜上知，點P到定點O的距離為2，所以P點的軌跡是以O為球心，2為半徑的球面.

第三招:巧借截面判軌跡

有一些題目，直接求軌跡方程不好求，定義又用不上，這時巧借截面判定動點軌跡的形狀，可以起到簡化問題，開闊思路的作用.

【例3】已知AB為平面α的斜線段，AB的長為定值，C為平面α內的一個動點，且滿足三角形BAC的面積S為定值，那么C點在平面α內的軌跡是().

A.雙曲線B.圓C.一條直線D.橢圓

解: 因為AB的長為定值，三角形BAC的面積S為定值，所以C點到直線AB的距離為定值，所以C點的軌跡是以直線AB為軸線的圓柱面，又AB為平面α的斜線段，所以平面α與C點所在的圓柱面相交，截面圖形為封閉圖形，所以C點的軌跡是橢圓，故選D.

【例4】已知AB為平面α的斜線段，AB與平面α所成的角∠ABD=60°，C為平面α內的一個動點，且滿足∠BAC=30°，那么C點在平面α內的軌跡是().

A.正方形B.圓C.橢圓D.拋物線

解: 因為滿足∠BAC=30°的C點的軌跡是以射線AB為軸線，射線AC為母線旋轉形成的圓錐面.又因為∠ABD=60°>∠BAC=30°，所以平面α與圓錐面相交，截面圖形為封閉圖形，所以C點的軌跡是橢圓，故選C.

拓展: 本題值得注意的是，∠ABD與∠BAC的大小關系直接影響到截面圖形的形狀.當∠ABD>∠BAC時，截面圖形為橢圓;當∠ABD=∠BAC時，截面圖形為拋物線;當∠ABD<∠BAC時，截面圖形為雙曲線的一支.

另外，當∠ABD=90°時，截面圖形為圓.

點評 :例3、例4若直接求動點的軌跡方程，不好解決.而應先找出動點在空間中的軌跡，再判斷該軌跡與平面α相交所得截面圖形的形狀，從而得到動點軌跡的形狀，其關鍵是先判斷出動點在空間中的軌跡的形狀.

(責任編輯 金 鈴)