客戶回報隨機過程的Markov性和時間齊次性

摘 要 在客戶發展關系的Markov鏈模型的基礎上，構建了企業的客戶回報隨機過程.證明了:在適當假設下，客戶回報過程是Markov鏈，甚至是時間齊次的Markov鏈.本文求出了該鏈的轉移概率.通過轉移概率得到了客戶給企業期望回報的一些計算公式，從而為企業選定發展客戶關系策略提供了有效的量化基礎.

關鍵詞 客戶回報隨機過程;Markov性;時間齊次性;轉移概率;期望回報

中圖分類號 O211.6;F224.7文獻標識碼:A

1 引 言

Markov鏈理論在企業的客戶管理中有很廣泛的應用. 在文獻[1]中，用概率論隨機過程中的Markov鏈來刻畫企業與客戶發展關系的一般模型. 企業在關注其內部產品生產的同時，越來越多地關注企業外部的客戶關系^[2-4].企業根據自身利益來劃分客戶類別的原則各不相同. 由于各種因素的作用，會導致客戶關系有不同的可能發展.當企業與客戶發展關系時，很有必要估算發展這一關系在未來一段時間內給企業的可能回報. 如果可能的回報大于或等于企業的期望回報時，就可以全力發展這一關系，否則，就放棄. 因此，建立客戶回報模型，很有必要.本文構建了客戶回報隨機過程，并證明了:在適當的假設條件下，客戶回報隨機過程是一個Markov鏈，甚至是一個時間齊次的Markov鏈. 本文求出了該鏈的轉移概率，并得到了客戶給企業回報的一些計算公式，從而為企業選定發展客戶關系策略提供了有效的量化基礎.

2 企業的客戶發展關系Markov鏈模型描述

企業根據自身的利益考慮，將客戶分成若干類別.假定某企業將其客戶分成M+1個類別(M≥2)，編號為0，1，…，M，并記集合S={0，1，…，M}，其中，0類客戶是和企業尚未接觸過的客戶，1，…，M-1類客戶是和企業正在接觸的客戶， M類客戶是和企業接觸過但已終止接觸的客戶. 如果客戶屬于某類i(∈S)，就說客戶處于狀態i. 考慮離散時刻n=0，1，2，…以及第n時段(n，n+1].

為了研究企業和客戶關系的發展，考察某個泛指的客戶，稱之為客戶甲. 將研究客戶甲所處的類別即狀態隨著時間流逝的動態變化.用ξn表示客戶甲在n時刻所處的狀態，ξn是取值于S的隨機變量.稱{ξn，n≥0}為客戶甲的狀態隨機過程，簡稱客戶狀態過程.根據文獻[1，4]，可以合理地作出下面的假設1.

假設1 客戶狀態過程ξ={ξn，n≥0}是Markov鏈，其狀態空間為S={0，1，…，M}.

于是可用Markov鏈理論^[5-6]來建立客戶發展關系模型. Markov鏈ξ于m(≥0)時刻的一步轉移矩陣記為mP=(mPi，j，i，j=0，1…，M):

mP=mP00mP01mP02…mP0M

mP10mP11mP12…mP1M

mP20mP21mP22…mP2M



mPM0mPM1mPM2…mPMM.(1)

其中，矩陣的元素mPij≥0，且每行之和等于1. 矩陣mP可刻畫客戶甲的狀態的動態變化，即刻畫了客戶甲所處的類別隨時間的變化規律. 當Markov鏈ξ是時間齊次情形時，有mPij=Pij，mP=P，與m無關，也就是文獻[1]中的客戶發展關系的普遍模型.

經 濟 數 學第 27 卷

第3期莫曉云:客戶回報隨機過程的Markov性和時間齊次性

客戶甲于m時刻在經歷n個時間單位后，從狀態i轉移到狀態j的概率記為mP(n)ij，記矩陣mP(n)=(mP(n)ij，i，j∈S)，稱它為Markov鏈于m時刻的n步轉移概率矩陣，其元素稱為鏈于m時刻的n步轉移概率.根據Markov鏈的Kolmogorov-Chapman方程^[5-6]，有

mP(n)=mP#8226;m+1P#8226;…#8226;m+n-1P.(2)

于是Markov鏈的n步轉移概率可以通過一步轉移概率表述. 當鏈是時間齊次情形，式(2)成為P(n)=Pn，后者是P的n次冪.約定:mP(0)=(mP(0)ij，i，j∈S)是單位矩陣.

3 客戶回報過程的Markov性和時間齊次性

3.1 客戶回報過程

客戶給企業帶來的毛利潤減去企業對客戶的開發成本叫做客戶給企業的回報，簡稱客戶回報. 在不同時段、不同市場情況下，客戶所處的狀態即類別不同，其回報也是不同的.設客戶甲在n時刻處于狀態i時在第n時段(n，n+1]的回報為ηn(i). 由于可以有負的回報，故它是取值于R=(- 的隨機變量. 于是ηn(ξn)就是客戶甲在第n時段(n，n+1]給企業的回報.

定義1 設i∈S，稱{ηn(i)，n≥0}為客戶在狀態i的回報過程.稱{ηn(ξn)，n≥0}為客戶回報過程.

記Z={0，±1，±2，…}.從實際考慮，可以假設回報ηn(i)取Z中的值即整數值. 故可以合理地作下面的假設2.

假設2對每個i∈S，客戶在狀態i的回報過程{ηn(i)，n≥0}是Z值隨機過程.

一般地說，不同類別的客戶給企業的回報應該是彼此獨立的.同一類別的客戶在不同時段給企業的回報也應是獨立的.因此，可以合理地作下面的假設3.

假設3

(ⅰ)對每個固定的i∈S，{ηn(i)，n≥0}是獨立隨機變量序列.記ηn(i)的分布律為gn(i，u)≡P[ηn(i)=u]，u∈Z.

(ⅱ)M+2個隨機過程ξ={ξn，n≥0}，{ηn(i)，n≥0}，i=0，1，…，M，相互獨立.

注 由于狀態0和M的特殊性，對i=0和M有ηn(i)=0，從而有gn(i，u)=δ0(u)，u∈Z，n≥0.其中δ0是在u=0點的單點概率分布.

3.2 客戶回報過程的Markov性和時間齊次性

首先注意，對于n≥1，由于假設3，利用獨立性，有

P(ηn(ξn)=v|ξn-1=i)=∑j∈SP(ηn(j)=v，ξn=j|ξn-1=i)

=∑j∈SP[ηn(j)=v，ξn-1=i，ξn=j]P[ξn-1=i]

=∑j∈SP[ηn(j)=v]#8226;P[ξn-1=i，ξn=j]P[ξn-1=i]

=∑j∈SP[ηn(j)=v]#8226;P[ξn-1=i]#8226;P[ξn=j|ξn-1=i]P[ξn-1=i]

=∑j∈SP[ηn(j)=v]#8226;P[ξn-1=i]#8226;n-1PijP[ξn-1=i]

=∑j∈Sgn(j，v)n-1Pij.

下面的假設有其合理性.

假定4對n≥1，客戶甲在第n時段(n，n+1]的回報ηn(ξn)與其在n-1時刻所處的狀態ξn-1無關，即

P[ηn(ξn)=v|ξn-1=i]=∑j∈Sgn(j，v)#8226;n-1Pij，i∈S，v∈Z;n=1，2，….(3)

與i∈S無關，記式(3)右方的公共值為Qn(v).

定理1 (ⅰ)在假設1至4下，客戶回報過程{ηn(ξn)，n≥0}是一個Markov鏈.未必是時間齊次的. 鏈于第n步時的一步轉移概率nqu，v(u，v∈Z，n=0，1，2，…)是

nquv=Qn+1(v)，u，v∈Z.(4)

nquv與u∈Z無關.

(ⅱ) 進一步，若在假設1 中狀態Markov鏈ξ={ξn，n≥0}是時間齊次的，在假設3 的(ⅰ)中，假定對每個i∈S，{ηn(i)，n≥0}是獨立同分布(分布可以依賴于i)隨機變量系列，則回報Markov鏈{ηn(ξn)，n≥0}是時間齊次的.

證明 (ⅰ)設u0，u1，…，un+1∈Z，則由條件概率的定義，有

P(ηn+1(ξn+1)=un+1|η0(ξ0)=u0，…，ηn(ξn)=un)

=P[∩n+1k=0(ηk(ξk)=uk)]P[∩nk=0(ηk(ξk)=uk)]=P[∪i1，…，in+1∈S ∩n+1k=0(ηk(ik)=uk)#8226;∩n+1k=0(ξk=ik)]P[∪i1，…，in∈S ∩nk=0(ηk(ik)=uk)#8226;∩nk=0(ξk=ik)]

=∑i1，…，in+1∈SP[∩n+1k=0(ηk(ik)=uk)#8226;∩n+1k=0(ξk=ik)]

∑i1，…，in∈SP[∩nk=0(ηk(ik)=uk)#8226;∩nk=0(ξk=ik)].

=∑i1，…，in+1∈SP[∩n+1k=0(ηk(ik)=uk)]#8226;P[∩n+1k=0(ξk=ik)]∑i1，…，in∈SP[∩nk=0(ηk(ik)=uk)]#8226;P[∩nk=0(ξk=ik)](由假設3，利用獨立性)

=∑i1，…，in+1∈S∏n+1k=0P[ηk(ik)=uk]#8226;P[∩nk=0(ξk=ik)]#8226;P[ξn+1=in+1|∩nk=0(ξk=ik)]∑i1，…，in∈S∏nk=0P[ηk(ik)=uk]#8226;P[∩nk=0(ξk=ik)]

=∑i1，…，in+1∈S∏n+1k=0gk(ik，uk)#8226;P[∩nk=0(ξk=ik)]#8226;P[ξn+1=in+1|ξn=in]∑i1，…，in∈S∏nk=0gk(ik，uk)#8226;P[∩nk=0(ξk=ik)]

(由假設1，利用ξ={ξn，n≥0}的Markov性)

=∑i1，…，in∈S∏nk=0gk(ik，uk)#8226;P[∩nk=0(ξk=ik)]#8226;∑in+1∈Sgn+1(in+1，un+1)#8226;nPin，in+1∑i1，…，in∈S∏nk=0gk(ik，uk)#8226;P[∩nk=0(ξk=ik)]

=∑i1，…，in∈S∏nk=0gk(ik，uk)#8226;P[∩nk=0(ξk=ik)]#8226;Qn+1(un+1)∑i1，…，in∈S∏nk=0gk(ik，uk)#8226;P[∩nk=0(ξk=ik)](由假設4)

=Qn+1(un+1).

類似的計算可得

P[ηn+1(ξn+1)=un+1|ηn(ξn)=un]=P[ηn(ξn)=un，ηn+1(ξn+1)=un+1]P[ηn(ξn)=un]

=∑in，in+1∈S P[ηn(in)=un，ηn+1(in+1)=un+1，ξn=in，ξn+1=in+1]∑in∈SP[ηn(in)=un，ξn=in]

=∑in∈S∑in+1∈SP[ηn(in)=un，ηn+1(in+1)=un+1]#8226;P[ξn=in，ξn+1=in+1] ∑in∈SP[ηn(in)=un]#8226;P[ξn=in]

=∑in∈S∑in+1∈Sgn(in，un)#8226;gn+1(in+1，un+1)#8226;P[ξn=in]#8226;nPin，in+1∑in∈Sgn(in，un)#8226;P[ξn=in]

=∑in∈Sgn(in，un)#8226;P[ξn=in]#8226;∑in+1∈Sgn+1(in+1，un+1)#8226;nPin，in+1∑in∈Sgn(in，un)#8226;P[ξn=in]

=∑in∈Sgn(in，un)#8226;P[ξn=in]#8226;Qn+1(un+1)∑in∈Sgn(in，un)#8226;P[ξn=in]=Qn+1(un+1).

于是

P(ηn+1(ξn+1)=un+1|η0(ξ0)=u0，…，ηn-1(ξn)=un)

=P[ηn+1(ξn+1)=un+1|ηn(ξn)=un]=Qn+1(un+1).

從而{ηn(ξn)，n=0，1，2，…}是一個Markov鏈，且于n時刻的一步轉移概率是nquv=∑j∈Sgn+1(j，v)#8226;Pij=Qn+1(v)，u，v∈Z，n≥0.證畢.

(ⅱ)如果定理1(ⅱ)中進一步的條件滿足，即gn(j，u)=g(j，u)與n無關，nPij=Pij與n無關，則客戶回報Markov鏈的轉移概率

Qn+1(v)=∑j∈Sgn+1(j，v)nPij=∑j∈Sg(j，v)Pij

與n無關，因而鏈是時間齊次的.定理證完.

4 期望回報

定理2 客戶甲在n時刻處于狀態j的條件下，在時段(n，n+1]給企業的期望回報Rn(j)是

Rn(j)=∑u∈Zugn(j，u).(5)

證明 因Rn(j)=E[ηn(ξn)|ξn=j]=E[ηn(j)|ξn=j]=E[ηn(j)]，最后一個等號用到了假設3的(ⅱ).再注意假設3的(ⅰ)，得證式(5).

記客戶甲在0時刻處于狀態i的概率為qi，即狀態Markov鏈ξ={ξn，n≥0}的初始分布為

qi=P[ξ0=i]，i∈S.(6)

定理3 設1≤N∈Z.客戶甲在時段(0，N]中的不同時刻可以處于不同的狀態，但處于狀態j的各個時刻給企業的總期望回報R(j，N)是

R(j，N)=∑N-1n=0Rn(j)∑i∈Sqi#8226;0P(n)ij=∑N-1n=0 ∑i∈S ∑u∈Zuqi#8226;0P(n)ij#8226;gn(j，u).(7)

證明 用記號I(A)表示集合A的示性函數.則依照R(j，N)的意義

R(j，N)=E[∑N-1n=0ηn(ξn)I(ξn=j)]=∑N-1n=0E[ηn(j)I(ξn=j)]

=∑N-1n=0E[ηn(j)]E[I(ξn=j)]=∑N-1n=0Rn(j)P[ξn=j]

=∑N-1n=0Rn(j)∑i∈Sqi#8226;0P(n)ij.(8)

將式(5)代入式(8)得式(7).證畢.

由定理3可直接得下面得定理4.

定理4 設1≤N∈Z.客戶甲在時段(0，N]中給企業的期望累積回報R(N)是

R(N)=∑j∈SR(j，N)=∑N-1n=0∑i∈S∑j∈S∑u∈Zuqi#8226;0P(n)ij#8226;gn(j，u).(9)

注 定理1至4是一個客戶給企業的回報，假定企業有a個客戶，第k個客戶在時段(0，N]給企業的期望回報是Rk(N)，則企業在時段(0，N]獲得的總期望回報是∑ak=1Rk(N).

5 實例計算

考慮一個小企業，一個貨幣單位是1萬元.設S={0，1，2，3}，狀態Markov鏈ξ={ξn，n≥0}是齊次的，初始分布為q1=q2=0.5，其1步轉移矩陣是

P=0.50.50000.50.50000.50.50001，

可計算出2，3步轉移矩陣

P(2)=0.250.50.25000.250.50.25000.250.750001，

P(3)=0.1250.3750.3750.12500.1250.3750.5000.1250.8750001.

設N=4，并設回報有上限U=3，且對n=0，1，2，3， 設表1.

于是可以算出

Rn(0)=Rn(3)=0，R(0，N)=R(3，N)=0.

Rn(1)=∑3u=0u#8226;gn(1，u)=1×0.5+2×0.25+3×0.25=1.75，

Rn(2)=∑3u=0u#8226;gn(2，u)=1×0.25+2×0.125+3×0.625=2.375，

R(1，N)=∑3n=0Rn(1)∑i∈Sqi#8226;0P(n)i1=1.75×0.5×[∑3n=0P(n)11+P(n)21]

=1.75×0.5×[1+0.5+0.25+0.125]=1.641 625，

R(2，N)=∑3n=0Rn(2)∑i∈Sqi#8226;0P(n)i2=2.375×0.5×[∑3n=0P(n)12+P(n)22]

=2.375×0.5×[1+1+0.75+0.5]=3.859 375，

R(N)=∑3j=0R(j，N)=5.501.

參考文獻

[1] 莫曉云.客戶發展關系的Markov鏈一般模型[J].數學理論與應用，2009，29(1):41-45.

[2] 陳明亮.客戶忠誠與客戶關系生命周期[J].管理工程學報，2003，17(2):27-31.

[3] DWYER，ROBERT F. Developing buyer seller relations[J].Journal of Marketing，1987，51(5):11-28.

[4] 路曉偉，蔣馥.客戶關系發展的馬爾柯夫過程模型及其應用[J].工業工程與管理，2004，9(1):40-44.

[5] 張波.應用隨機過程[M].北京:中國人民大學出版社，2001.

[6] 錢敏平，龔光魯.隨機過程論[M].北京:北京大學出版社，1997.

MarkovProperty and Time-homogeneity

for the Customer-repaying Stochastic Process

MO Xiao-yun

(Hunan University of Finance and Economics， Changsha，Hunan 410205 ，China)

Abstract Based on the model of Markov chain for developing relation of customers， the customer-repaying stochastic process for enterprise wasformulated. It is proved that， under some appropriate hypothesis， the customer-repaying process is a Markov chain，even a time-homogeneous Markov chain.And the transition probabilities for this Markovchain was calculated. Using the transition probabilities of this Markov chain， some formulas of calculating the customer-repayment for enterprise were obtained， which offers an effective amounting foundation of policies that the enterprise chooses developing relation of customers.

Keywords customer-repaying stochastic process; Markov property; time-homogeneity; transition probability; expectation repayment