一類兩相模型的導數估計

摘 要 將一類兩相模型作了一個推廣.將模型中的Laplace算子換成p-Laplace算子后，研究了方程的解，得出解的一個導數估計.

關鍵詞 兩相模型;p-Laplace;雙井勢函數;n-模解;層

中圖分類號 0175.22文獻標識碼:A

1 引 言

AllenCahn 方程是一個著名的兩相過渡模型，該模型在物理，化學，生物及材料學等各領域都有非常廣泛的應用和研究，并且將該模型的研究成果反饋于生產中，帶來了很大的經濟效益.對于一維的AllenCahn 方程多層解的相關性態，Kimie Nakashima 在文獻[1-2]中已經給出了詳盡的討論.

本文是AllenCahn方程的一個推廣，將AllenCahn方程中的Laplace算子換成p-Laplace算子后，同樣可以得到許多相應的結論.本文研究了方程(1)的解，著重討論了它的導數估計，即

εp(u′(x)p-2u′(x))′-hp(x)F′(u(x))=0，0

其中，F(u)=(1-u2)p，且p>2，u∈W1，p(R)，并且h(x)∈C([0，1])，h(x)>0，x∈(0，1).

2n模解的性態

定義1 若方程(1)的解uε(x)在(0，1)內恰有n個零點，則uε(x)叫方程(1)在(0，1)上的n模解.

定理1 對每個n∈N，存在一個εn>0，使得當0<ε<εn時，方程(1)至少有兩n模解.

對該定理，可參考文獻3.為表述方便，對于任意固定n∈N，文中用uε(x)表示任意一個n模解.

定理2 令K=12C0pp-11phmin，=2pp-11phmax ，則存在常數00，

C3exp -d(x)ε≤uε(x)-(-1)≤C4exp -Kd(x)ε， (2)

C3exp -d(x)ε≤1-uε(x)≤C4exp -Kd(x)ε (3)

成立，其中d(x)=dist(x，Sε)，Sε=x∈(0，1)uε(x)=0=ξ1，ξ2…，ξn.

證明見參考文獻[4-7].

3 n模解的導數估計

定理3 存在常數00，在ξk，ξk+1上有

C5εexp -d(x)ε-exp -d(ζk)ε≤duε(x)dx≤C6εexp -Kd(x)ε ， (4)

其中，K，d(x)如定理2所定義.

證明 由定理2的證明知，在uε(x)每個零點附近的小閉區域內，uε(x)是單調的.令ξk及ξk+1是uε(x)的兩個相鄰零點，則當x∈ξk，ξk+1時，uε(x)符號確定，且在該區間內duε(x)dx只有唯一零點，記作ζk0≤k≤n-1.為表述方便，取ξ0=ζ0=0，ξn+1=ζk=1.并且還知

ζk-ξkε→

在這里只考慮uε(x)任意兩相鄰零點ξk，ξk+1之間的情形.靠近兩端點的情形，可通過延拓將方程(1)的定義域擴充到-1，2=-1，0∪0，1∪1，2上來做.

不失一般性，假設在ξk，ξk+1上uε(x)>0，并且ζk≤rk=ξk+ξk+12，又由式(5)知ξk+1-ξkε→+

因此對任意小的δ1>0，存在M>0，使得當ε足夠小時有1-δ1≤uε(x)≤1，x∈ξk+Mε，ξk+1-Mε.

由于

F′(1)-F′(uε(x))=F″(ξ)(1-uε(x))，ξ∈(uε(x)，1)，

顯然F″(ξ)>0，故存在γ1>0，使得

-F′(uε(x))≥γ1(1-uε(x)).

因為

1εp∫xζkhp(s)F′(uε(s))ds=∫xζk(u′ε(s)p-2u′ε(s))′ds=u′ε(x)p-2u′ε(x)，

故由定理2知

u′ε(x)p-1=1εp∫xζk(-hp(s)F′(uε(s)))ds≥hpmin (x)γ1C3εp∫xζkexp -K^d(s)εds.(6)

又因為當x∈ξk，rk時，d(x)=x-ξk，因此由式(6)可知

u′ε(x)p-1≥(C′3)p-1εp-1exp -K^(x-ξk)ε-exp -K^(ζk-ξk)ε，(7)

其中(C′3)p-1=C3γ1hpmin .從而u′ε(x)≥C′3εexp -(x-ξk)ε，此時x∈ξk+Mε，rk.又因為在ξk，ξk+Mε上，u′ε(x)單調遞減，且u′ε(x)>0，因此u′ε(x)≥u′ε(ξk+Mε)，再結合式(5)和(7)，得u′ε(x)≥C′32εexp (-K^M).故x∈ξk，rk時式(4)左端成立.

當x∈rk，ξk+1時，由式(6)知，當x∈rk，ξk+1-Mε時

u′ε(x)p-1≥hpmin (x)γ1C3εp∫rkζkexp -(s-ξk)εds+∫xrkexp -(ξk+1-s)εds

≥hpmin (x)γ1C3εp-1exp -(ξk+1-x)ε-exp -(ζk-ξk)ε.

故

u′ε(x)≥C′3εexp -(ξk+1-x)ε-exp -(ζk-ξk)ε. (8)

而當x∈ξk+1-Mε，ξk+1時，u′ε(x)單調遞減，并且 u′ε(x)<0，所以可得u′ε(x)≥u′ε(ξk+1-Mε)≥C′32εexp (-M).如有必要C′3可用更小的常數來替換.

由上可知存在常數C5>0使得式(4)左端不等式成立.對式(4)右端不等式，下面只考慮x∈ξk，ζk的情形，而當x∈ζk，ξk+1時，用同樣的方法可得結論.當x∈ξk，ζk時，由式(1)中方程可得

∫ζkxp-1pεpu′ε(t)p′dt=∫ζkxhp(t)(-F(u′ε(t))′dt.

從而

p-1pεpu′ε(x)p≤hpmax (x)(F(uε(x))-F(uε(ζk)))≤2phpmax (x)(1-uε(x))p.

結合式(3)右端可得

u′ε(x)≤pp-11p2C4hmax (x)εexp -Kd(x)ε=C6εexp -Kd(x)ε，

其中C6=pp-11p2C4hmax (x)，如有必要，C6可用更大常數來替換.

綜上可知定理3得證.

推論1 對充分小的ε>0，有下式成立

K2dξk+ξk+12≤d(ζk)≤dξk+ξk+121≤k≤n-1，

其中K，如定理2所定義.

證明 令rk=ξk+ξk+12，顯然d(ζk)≤d(rk)，因此

exp -d(rk)ε≤exp -d(ζk)ε，

將x=rk=ξk+ξk+12代入式(4)得

C5εexp -d(ζk)ε-exp -d(rk)ε≤C6εexp -Kd(rk)ε.

再結合式(5)可得如此

Kd(rk)2≤d(ζk)，即K2dξk+ξk+12≤d(ζk).

綜上可知推論成立.

參考文獻

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A Promotion of Bi-phase Model

ZHOU Bin， HEDan

(Hunan Institute of Technology，Hengyang，Hunan 421002，China)

Abstract A promotion to a class ofbi-phase model was obtained. We changedthe Laplace operator to p-Laplace operator，discussedthe solution to the equation， andobtained an estimate of the derivative of the solution.

Keywordsbi-phase model;p-Laplace;double well potential equation;n-mode solution;layers.