動態(tài)經濟網絡結構及其穩(wěn)定性研究

摘 要 在Jackson 和 Wolinsky' 1996年提出的經濟網絡的內生形成模型的基礎上，進行模型的動態(tài)擴展研究.探討在網絡中隨時間序列的變化，每個時間步內都有一個新節(jié)點增加的動態(tài)變化狀態(tài)下，模型構成的變化情況.隨著網絡的動態(tài)變化，模型的穩(wěn)定性和靜態(tài)網絡中的穩(wěn)定性是不同的，因此也探討了在動態(tài)模型中動態(tài)穩(wěn)定性的含義，并給出了不同約束條件下，形成的動態(tài)穩(wěn)定網絡結構及其有效性的初步探討.

關鍵詞 經濟網絡;生形成模型;穩(wěn)定性動態(tài)有效性

中圖分類號 F224.1文獻標識碼:A

1 引 言

自從Jackson 和 Wolinsky^[1]在1996年的文章中提出經濟網絡的內生形成模型之后，有關經濟網絡及其穩(wěn)定性和有效性的文章數量快速增長.例如，Dutta and Mutuswami^[2]，Slikker and van den Nouweland ^[3] and Johnson and Gilles ^[4]，Jackson^[5] and Frank H. Page，Myrna H.Wooders and Smamir Kamir ^[6]介紹了一種超級網絡.所有以上這些文章都是以合作博弈理論為源頭來進行研究的，而另一方面，也出現了非合作博弈理論的研究，如Bala and Goyal^[7-8]，Moraga-Gonzalez ^[9]，Goyal and Joshi^[10]，Haller and Sarangi ^[11]and Sarangi， Kannan and Ray^[12].這些模型的研究狀態(tài)都是靜態(tài)的.Jackson and Watts^[13]and Watts^[14]從這些假設中分離出來，進行了動態(tài)環(huán)境下連接模型的研究.另外還有一些其他相關的模型研究^[15].但是，仍有一個重要的情況在模型的分析中沒有考慮，那就是個體的增加.模型隨個體增加會呈現什么樣的穩(wěn)定結構?針對這一問題，文章進行了分析，并且針對這種情況給出了動態(tài)穩(wěn)定性和動態(tài)有效性的定義.并且研究發(fā)現動態(tài)穩(wěn)定的網絡結構與Watts的分析結果類似.

在模型的初始條件中，會有一組可以相互連線的個體，每一個時間步內，又會有一個新的個體加入網絡.如果雙方同意，新的個體可以與網絡中原有個體建立一條連線;同時網絡中原有連接的個體分別考慮要不要刪除他們之間的連線，只要有一方想刪除連線，那么連線就可以刪除.在網絡中，個體都被假設為短視的，即在建立或刪除連線的時候只考慮連線的變動是否會立即帶來收益的增加，而不會考慮連線的變動對下一步或對其他個體效益的影響.個體的效益函數采用Jackson and Wolinsky’s(1996)^[1]中的表達方式.根據網絡的這種動態(tài)變化的特性，探討了在各種效用條件下形成的穩(wěn)定的網絡結構，并簡單探討了各種穩(wěn)定結構的有效性.

2 靜態(tài)模型描述

2.1 Jackson and Wolinsky[1](1996)的靜態(tài)模型 

考慮一個由有限個經濟個體所組成的經濟系統，個體之間存在某種相互的關系，將這種個體及相互之間的關系看做一個網絡，其中網絡中用節(jié)點代表經濟個體，全部節(jié)點的集合記為N = {1，2，…，n}，兩個節(jié)點之間的連線代表他們之間存在某種關系.用g N表示完全連接網絡，則所有在N上的網絡必有gggN.如果節(jié)點i和j在網絡g中存在直接的連線，那么記為ij∈g.

如果節(jié)點i和j直接連接，那么節(jié)點i從連線獲得的收益用δ，0<δ<1表示，為保持連線付出的成本用cij表示;如果節(jié)點i和j不是直接連接，用tij表示節(jié)點i和j連通需要經過的連線的個數(若節(jié)點i和j之間沒有路徑，則tij=∞).因此，每個個體從網絡g中得到的收益為

ui(g)=∑j≠iδt(ij)-∑j:ij∈gc.(1)

2.2 Jackson and Wolinsky^[1](1996)的靜態(tài)模型的分析結果

在一個網絡g中，如果沒有任何一對節(jié)點想再建立一條連線，同時也沒有任何一個節(jié)點想刪除已有的連線，那么這個網絡g稱為穩(wěn)定網絡，也就是說網絡g是穩(wěn)定的，如果它滿足條件:

 (i)若ij∈g，則ui(g)≥ui(g-ij)和uj≥uj(g-ij);

(ii)ijg，若ui(g+ij)>ui(g)，則必有uj(g+ij)

因此得到結論:

定理1 (Jackson and Wolinsky， 1996)，在對稱的連接模型中:

(i)當c<δ-δ2時，則完全連接網絡gN是唯一成對穩(wěn)定的網絡;

經 濟 數 學第 27 卷

第3期房艷君等:動態(tài)經濟網絡結構及其穩(wěn)定性研究

(ii) 當δ-δ2

(iii) 當δ

 Jackson and Wolinsky (1996) 證明了定理1，但在證明中假設個體可以連接和刪除連線，但連接和刪除不可以同時進行.從定理1中可以看到，在條件(i)中，gN是唯一成對穩(wěn)定的網絡，而在其他情況中，穩(wěn)定的網絡結構都不是唯一的.

一個網絡g，如果它的所有節(jié)點的效用值之和在所有網絡中是最大的，即

g=arg max ∑ni=1ui(g)，

那么g被稱為有效網絡.

定理2 (Jackson and Wolinsky， 1996)在對稱的連接模型中:

(i)當c<δ-δ2時，則完全連接網絡gN是唯一有效的網絡;

(ii)當δ-δ2

當δ+((N-2)2)δ2

3 動態(tài)模型

 在以上分析的Jackson and Wolinsky的靜態(tài)模型的基礎上，下面來分析在有新個體增加的情況下，隨著時間序列的增加，根據不同的條件假設，網絡呈現的動態(tài)穩(wěn)定結構和有效結構.

1)動態(tài)模型

假設:

(ⅰ)初始網絡中含有m個個體的穩(wěn)定網絡;

(ⅱ)存在一個時間序列T，T = {1，2，…， t，…}，在每一個時間步ti，有一個新的節(jié)點i加入到網絡中.

(ⅲ)用gti表示在ti時刻加入新節(jié)點后所達到的網絡結構，ui(gti)表示在ti時刻節(jié)點i的收益;

(ⅳ)此時網絡的總收益v(gti)=∑i∈Ntiui(gti).

2)網絡連接規(guī)則

在每個時刻，如果雙方同意，那么新節(jié)點和舊節(jié)點之間可以建立一條新的連線.同時，兩個舊節(jié)點之間也可以根據可能帶來的收益變化進行連線的建立和刪除.假設個體都是短視的，因此，每個節(jié)點考慮連線的建立或連接都只基于在ti時刻的收益可以增加.

因為模型中考慮到節(jié)點總體個數的變化以及因此而產生的網絡規(guī)模的變化，Jackson and Wolinsky(1996)的穩(wěn)定網絡和有效網絡的定義在這種動態(tài)網絡中不再適合，因此，首先定義動態(tài)穩(wěn)定網絡和動態(tài)有效網絡的定義.

定義1{ST(動態(tài)穩(wěn)定性)如果在每個時刻ti，網絡的穩(wěn)定結構gti總是呈現一種網絡結構(也就是說，gti在每個時刻都是全連接網絡或星形網絡或空網絡等等)，那么網絡gti被稱為是動態(tài)穩(wěn)定的.

定義2(動態(tài)有效性)如果在每個時刻ti，對于任意的g'tigNti，都有v(gti)>v(g'ti)，并且gti呈現一種網絡結構(也就是說，gti在每個時刻都是全連接網絡或星形網絡或空網絡等等)，那么網絡gti被稱為是動態(tài)有效的.

4 動態(tài)網絡模型的幾點研究結果

下面的定理3和4 給出了在動態(tài)網絡形成過程中所呈現的網絡結構，并且得出哪種網絡結構是動態(tài)穩(wěn)定的，動態(tài)穩(wěn)定的結構是否也同時是動態(tài)有效的網絡.

定理3 (動態(tài)穩(wěn)定性)

 (i) 如果δ-δ2>c>0，那么初始網絡gNt0是穩(wěn)定網絡，每一個新節(jié)點與所有舊節(jié)點相連接，則完全連接網絡是動態(tài)穩(wěn)定的;

(ii) 如果δ

證明 (i)如果δ-δ2>c>0，那么從定理1可以得到，在靜態(tài)環(huán)境下gN是穩(wěn)定網絡.因此在初始狀態(tài)下，網絡的穩(wěn)定結構為gNm.因為0<δ<1并且δ-δ2>c>0，所以δ-c>δ2>δ3>…>δn-1.然后，在每個時間步，新加入的節(jié)點都會愿意與舊節(jié)點建立連線，舊的節(jié)點也愿意與新節(jié)點建立連線，因為建立連線后，從連線中至少可以獲得δ-c>0的收益.同理，已建立連線的舊節(jié)點間也不會刪除連線，刪除連線就意味著收益的減少，因此，無舊連線的刪除.圖1是一個初始節(jié)點m=3，經歷t0，t1，t2，t3幾個時間步的網絡模型.

圖1 穩(wěn)定網絡gNti

(ii)如果(δ-c)<0，從定理1 知道，穩(wěn)定網絡為空網絡.所以在t0時刻的初始穩(wěn)定網絡為空網絡.在t1時刻加入一個新的節(jié)點i，如果節(jié)點i遇到舊節(jié)點j，兩個節(jié)點間可以建立一條連線，建立連線后，每個節(jié)點從連線中獲得(δ-c)<0的收益，因為前提假設個體都是短視的，因此他們之間會拒絕連線的建立.因此，在每個時間步內，都沒有連線的建立，因此，在此條件下，空網絡是動態(tài)穩(wěn)定網絡.

定理3說明當δ-δ2>c>0時，動態(tài)穩(wěn)定網絡模型為全連接網絡，又根據定理2 得知，在此條件下，每個時間步內的有效網絡都是全連接網絡，因此，唯一的動態(tài)有效網絡為全連接網絡gNti

當δδ+((ni-2)/2)δ2時，空網絡不是有效網絡;只有當c>δ+((ni-2)/2)δ2時，空網絡才是有效網絡.

定理4 (動態(tài)有效性)

如果δ>c并且0<δ-δ2

(i)如果網絡中信息是全部流通的，那么形成過程會聚集成星形網絡.

(ii)如果網絡中的信息不是流通的，那么網絡形成過程會以p(star)=∏

證明 (i) 如果δ>c并且0<δ-δ2(δ-c)+δ2+(m-2)δ3，因為假設個體是短視的，故節(jié)點i會斷開與節(jié)點j的連線而與中心節(jié)點c相連接.另一方面，如果節(jié)點i與中心節(jié)點c相連接，節(jié)點j可獲得δ-c>0的收益，從已知條件得知，δ-c<δ2，故節(jié)點j也期望節(jié)點i能與中心節(jié)點c相連接.因此，在t1時刻形成的穩(wěn)定網絡為星形網絡.以此類推，在以后各時刻，穩(wěn)定網絡gti為星形網絡結構，因此，星形網絡是動態(tài)穩(wěn)定網絡.

(ii) 如果δ>c并且0<δ-δ2

圖2是從初始節(jié)點m=3而發(fā)展的網絡，其中:圖a描繪了信息全部流通的發(fā)展模式，網絡的動態(tài)穩(wěn)定結構是星形網絡;圖b描繪了網絡中信息不流通的模式，形成星形網絡的概率為p(star)=∏

圖2 兩種情況比較

5 結 論

本文研究了在假設個體是短視的并且每個時間步都有一個新個體加入的情況下網絡模型的形成過程，達到哪種動態(tài)穩(wěn)定網絡模型和動態(tài)有效網絡模型.由前面研究結果得知，當δ-δ2>c>0時，動態(tài)穩(wěn)定網絡結構為全連接網絡，并且同時也是動態(tài)有效網絡;當δδ+((ni-2)/2)δ2時，星形網絡才是動態(tài)有效網絡;當δ>c并且0<δ-δ2

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The Dynamic Networks Formation

Model and the Stability

FANG Yan-jun，ZHAOQing-zhen

(International business school， Shandong Normal University， Jinan， Shandong 250014，China)

Abstract Based on Jackson and Wolinsky 1996' endogenous formation model， a dynamic framework for the analysis of network formation was proposed. Supposing that there is a new agent participating in the network in each period， which is different from the static network formation， the notion of dynamic stability and dynamic efficient was extended. The dynamic stable network structure under different constrains was shown， and the efficiency of these networks was discussed.

Keywords economic network; endogenous formation modeldynamic; stabilitydynamic;efficiency