第八招:暗度陳倉

乍看不起眼的“運算”是不少同學的“弱項”，運算錯誤則是試卷上的“硬傷”.多年解題經驗告訴我們:運算的基本要求是“算則對”，發展要求是“少算且對”，最高境界是“不算而對”.如何在“算對”的基礎上“少算”甚至“不算”?且看“算對有招”之——

求解數學解答題要求推理過程嚴密、運算結果正確.但“推理嚴密”并不意味著“運算死板”，況且死板的運算也不能保證結果正確.我們大可以在“臺前”做足邏輯推理的“功夫”，而在“幕后”對其中的某些運算片斷予以靈活變通——是謂“暗度陳倉”.

例1若直線l:y=kx-2k與雙曲線x2-y2=1的右支交于兩點，求實數k的取值范圍.

常規解法: 將y=kx-2k代入x2-y2=1得:(1-k2)x2+4k2x-4k2-1=0(①)，由韋達定理得:x1+x2=-，x1x2=-. 由雙曲線方程可知，①式的兩根必位于區間(-∞，-1]∪[1，+∞)內. 要使得直線與雙曲線的右支交于兩點，只要①式的兩根均為正即可，∴ 1-k2≠0，Δ>0，->0，->0.化簡各式得k≠±1，Δ=12k2+4>0，k>1或k<-1，k>1或k<-1，故k的取值范圍為(-∞，-1)∪(1，+∞).

“暗度陳倉”: 先不求解不等式組，在草稿上畫出草圖. 由題目條件可知直線l過定點(2，0)，而過點(2，0)與雙曲線的漸近線平行的直線l1，l2的斜率分別為1，-1. 要使直線與雙曲線右支交于兩點，直線l應位于l1與l2之間的陰影區域內(如圖1所示).因此，不必求解不等式組，可直接寫出答案:k<-1或k>1.

評析: 以上“暗度陳倉”的解法運用了數形結合思想. 解答題注重說“理”，光用圖象法解題不僅表述困難，還可能導致邏輯漏洞. 這就是我們說的“形”能“輔”數而不可完全“代替”數. 但若不利用圖象，一板一眼地求解不等式組，運算又會很煩瑣.兩全其美的方法是，將運算移至“幕后”，在確保結果正確的前……