新鮮出爐之七

考試時最怕碰到什么題?是難題，還是從未見過的新題?在對考場心態的“破壞力”上，兩者的“段位”可謂不分伯仲.本工坊特推出“新鮮出爐”新題系列，拓展同學們的視野，讓大家從此不再怕新題!

1. 在一個密封的容積為1的透明正方體容器內裝有部分液體，如果任意轉動該正方體，液面的形狀都不可能形成三角形，那么容器內液體體積的取值范圍是.

2. 某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段;在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a，b的線段，則a+b的最大值為.

3. 如圖1所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1=BC=1，AB=2-. P是A1B1上一個動點，設平面PAD1和平面PBC1與對角面ABC1D1所成的二面角分別為α，β(α，β≤)，試求α+β的最小值.

【參考答案】

1. 解析: (考慮極端情況) 如圖2所示，為使液面形成三角形，可先讓正方體“立”起來，想象從頂端D1點注入液體，則一開始形成的液面肯定為三角形. 當液面恰好形成△AB1C時，易知液體的體積為.繼續注入液體，液面將不再是三角形. 當液面上升至△DC1A1的位置時，將重新開始形成三角形，此時的液體體積等于. 故要使液面不可能形成三角形，則液體體積的取值范圍是，.

2. 解析: (可借助具體模型來考慮)一條棱在三視圖上的投影，其本質就是一條線段在三個兩兩垂直的平面上的投影，故可將這三個兩兩垂直的平面想象成長方體中有公共頂點的三個面ABCD，A1ABB1，B1BCC1，如圖3所示.

設AC1=，AB=x，BC=y，BB1=z，則由題意可知x2+z2=6，x2+y2+z2=7，y2+z2=a2，x2+y2=b2，從而得到y=1. 故(a+b)2=(+)2=8+2≤8+2=16，所以(a+b)max=4.

3. 解析: 因為從圖上很難直接看出α+β的變化情況……