e的遐想 等

e的遐想

美國Mathematical Intelligencer雜志曾舉辦過一次別出心裁的選美大賽，編者刊出了24個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理，讓讀者打分選出“最美”的。統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉給出的公式eiπ+1=0獲得了冠軍，原因是這個(gè)公式讓數(shù)學(xué)中最重要的五個(gè)常數(shù)——自然對(duì)數(shù)底e、圓周率π、虛數(shù)單位i、自然數(shù)單位1以及常數(shù)0——團(tuán)圓了。數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”。

今天我們一起來追尋無理數(shù)e的“前世今生”，首先從古巴比倫人的復(fù)利問題談起。有個(gè)商人向財(cái)主借錢，財(cái)主開出的條件是年利率100%，即每借1元，一年后需連本帶利歸還2元。但如此高的利率依然不能滿足財(cái)主的貪欲，他想，如果半年結(jié)一次賬，半年利率為50%，則一年后可收回(1+0.5)2=2.25元，利息比原來更多!這下財(cái)主心里算起了“小九九”:如果一年結(jié)算3次，4次，……，1000次，豈不發(fā)財(cái)了?我們可以一起來幫財(cái)主算個(gè)賬，如果一年結(jié)算1000次的話，其本利之和就是1+1000=2.71692，這一結(jié)果估計(jì)會(huì)令財(cái)主大失所望。他錯(cuò)誤地認(rèn)為，結(jié)算次數(shù)越多，利息就增長得越快。而事實(shí)上，1+n的值雖然隨n的增大而增大，卻不可能突破一個(gè)極限。歐拉把這個(gè)極限記作e，也即我們今天所說的自然對(duì)數(shù)的底。

雖然古巴比倫人研究過復(fù)利問題，但他們并不知道e這個(gè)數(shù)。直到1683年，瑞士數(shù)學(xué)家雅各#8226;伯努利在研究連續(xù)復(fù)利時(shí)，才意識(shí)到問題必須靠求1+n當(dāng)n→+∞時(shí)的極限來解決，但伯努利只估算出這個(gè)極限值在2和3之間。之后歐拉利用無窮級(jí)數(shù)1+++++…首次算出了e的近似值2.71828…，還證明了e是個(gè)無理數(shù)。

作為最重要的無理數(shù)之一，e幾乎存在于生產(chǎn)生活的各個(gè)領(lǐng)域。