立體圖行“面面觀”

解題“牛人”許志鋒，男，中學高級教師，臺州市“教學能手”，擁有20余年高三教學經驗，參加過教育部國家級骨干教師培訓并被授予合格證書。

愛好:解數學題。曾多次參加全國數學問題有獎征答活動并獲獎。

由于近年來對向量方法的大力提倡，眼下同學們解立體幾何題有些過于依賴向量方法，遇到那些不易建立坐標系或者需要一定空間想象力的問題就感覺無從著手. 本期我們將以近兩年的立體幾何高考試題為例，通過分析各題的解題思路，教大家學會立體圖形“面面觀”.

例1(2009年高考數學浙江卷(理)第17題) 如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC中點，F為線段EC(端點除外)上一動點.現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF. 在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足.設AK=t，則t的取值范圍為.

圖1

解析: ∵平面ABD⊥平面ABCF(面面垂直)，AB是兩平面的交線，又DK⊥AB， ∴ DK⊥平面ABCF(線面垂直)，即D點在平面ABC上的射影恰好在AB上. 這樣的位置關系“得來不易”. 實際上，D點在平面ABCF上的射影隨著二面角D-AF-B的變化而運動，要使其落在線段AB上，這個二面角必須要“恰到好處”.

現在讓我們作出這個二面角的平面角. 作KH⊥AF，H為垂足，連接DH，如圖2所示. 由DK⊥平面ABCF及KH⊥AF可知，AF⊥平面DHK， ∴ AF⊥DH，∠DHK就是二面角D-AF-B的平面角.

這時我們將折疊而成的立體圖形展開，還原為平面的矩形，如圖3所示. 展開之后，∠AHD=∠AHK=90°是不變的，因此D，H，K三點必然共線!現在，原問題轉化為了一個簡單的平面幾何問題:“當F在線段EC上運動時，過D作AF的垂線交AB于點K，求AK的取值范圍.”顯然，當F從E運動到C時，AK由大到小連續變化. 若F與E重合，則AK=AB=1;若F運動到C點，則……