導數應用中的五大易錯點

一、 求單調區間忽略函數定義域

例1求函數y=x-lnx的單調區間.

錯解: 令y′=1->0，解得x>1或x<0， ∴ 函數的單調遞增區間為(-∞，0)∪(1，+∞); 令y′=1-<0，解得0

錯因: 求函數的單調區間應首先考慮函數的定義域，錯解忽略了這一環節.

正解: 函數y=x-lnx的定義域為(0，+∞)， ∴ 函數的單調遞增區間為(1，+∞)，單調遞減區間為(0，1).

二、 對復合函數求導不嚴密

例2已知y=(1+cos2x)2，求y′.

錯解: y′=-2sin2x(1+cos2x).

錯因: 錯解對復合函數的求導不嚴密，忽視了對“2x”這一復合過程的求導.

正解: 設y=u2，u=1+cos2x，則yx′=yu′#8226;ux′=2u#8226;(1+cos2x)′=2u#8226;(-sin2x)#8226;(2x)′=2u#8226;(-sin2x)#8226;2=-4sin2x(1+cos2x)，∴ y′=-4sin2x(1+cos2x).

【評注】復合函數的求導一般可按以下三個步驟進行:

(1) 選定中間變量，正確分解復合關系:y=f(u)，u=f(x);

(2) 分步求導:y對u求導(yu′)，u對x求導(ux′);

(3) 求yu′#8226;ux′，并將u用x的函數代回.

整個過程可記為“分解—求導—回代”. 其中要特別注意的是，在中間變量對自變量的求導中，若自變量前面有系數，需同樣視為復合過程進行求導.遇到復雜的多重復合的情形，可以相應地多次應用中間變量.

三、 混淆“過點P的切線”與“在點P處的切線”

例3已知曲線S:y=-x3+x2+4x及點P(0，0)，求過點P的曲線S的切線方程.

錯解: ∵ y′=-2x2+2x+4，∴過點P的切線斜率k=y′x=0=4， ∴ 過點P的曲線S的切線方程為y=4x.

錯因: 錯解沒有仔細審題，錯將“過點P的切線”等同于“在點P處的切線”，默認點P為切點.

正解: 設過點P的切線與曲線S相切于點Q(x0，y0)，則kPQ=，且切線斜率k=y′x=x0=-2+2x0+4， ∴ -2+2x0+4= (①). ∵ 點Q在S上， ∴ y0=-++4x0 (②). 將②代入①得-2+2x0+4=，化簡得-=0， ∴ x0=0或x0=.

若x0=0，則P點即為切點，k=4， ∴ 過點P的切線方程為y=4x;

若x0=，則k=-2×+2×+4=， ∴ 過點P的切線方程為y=x.

綜上所述，過點P的曲線S的切線方程為y=4x或y=x.

【評注】求過某一點的曲線的切線方程，應先看該點是否為切點. 若是“在點P處”的切線，則可利用導數直接求解;若是“過點P”的切線，則應另設切點，利用切點……