第六招:以退為進

乍看不起眼的“運算”是不少同學的“弱項”，運算錯誤則是試卷上的“硬傷”.多年解題經驗告訴我們:運算的基本要求是“算則對”，發展要求是“少算且對”，最高境界是“不算而對”.如何在“算對”的基礎上“少算”甚至“不算”?且看“算對有招”之——

“邏輯”和“計算”猶如DNA雙螺旋結構中的兩條長鏈，支撐并推進著數學的解題過程.當“計算”陷入困境，則可乘“邏輯”之“翼”，或暫避鋒芒，或突出重圍，另尋解題之路——是謂“以退為進”.

例1解不等式-1≤≤2.

常規解法: 先求解-1≤，即+1≥0?圳≥0?圳(3x-2)(x-4)≤0且x≠4，解得≤x<4;再解≤2，即-2≤0?圳≤0?圳(3x-7)(x-4)≥0且x≠4，解得x≤或x>4. 綜上可得原不等式的解為，.

“以退為進”: 原不等式等價于+1-2≤0，化簡得≤0，也即(3x-2)(3x-7)≤0且x≠4， ∴ ≤x≤.

評析: “常規解法”運算瑣碎，且容易取錯兩次解的公共部分. “以退為進”利用“(x-a)(x-b)≤0?圳a≤x≤b”進行變形，一開始得到的結果似乎比原不等式更煩瑣，但它巧妙合并了兩次小運算，也沒有用到分式不等式與因式不等式的互化，使后繼運算更加穩健簡便.其他類似問題的求解，如“已知a>0，b>0，求不等式-b<等式問題上尤其適用.

例2求函數y=-2sin2x+4ksinx+1 (k>1)的最大值.

“以退為進”: y=-2(sinx-k)2+2k2+1， ∵ k>1， ∴ 當sinx=1時y取到最大值，ymax=-2×1+4k×1+1=4k-1.

評析: 本題的“以退為進”體現在ymax的計算上. 很多同學可能會不假思索地將sinx=1代入配方后的式子，從而得到ymax=-2(1-k)2+2k2+1=4k-1. 其實配方的目的只是為了方便找到最值點，之后其“使命”已經完成，因此在求最值時，無需緊盯著配方后的式子不放. 將sinx=1代回到最初的式子，口算即得ymax=4k-1.

“以退為進”出招要旨: (1) “以退為進”是指擺脫邏輯思維定勢的影響，在解題之上“俯瞰”全局，可以“跳躍穿插”，“按需”計算;(2) 充要條件(等價……