論數學思想在小學數學教學中的滲透

編前語:數學知識技能和數學思想方法是小學數學教材的兩條主線。教材中的知識技能的呈現結構比較清晰，或并列或遞進，而數學思想方法則是貫穿于各個章節、“藏”在多個知識點之中。

所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。小學數學中“藏”有對應、符號、分類、類比、假設、轉化、極限、統計等數學思想。所謂數學方法，就是解決數學問題的根本策略和程序，是數字思想的具體反映。常在分析、綜合、抽象、概括、化歸、演繹等思維方

《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》(以下簡稱《標準》)指出:學生應獲得適應社會生活和進一步發展所必須的數學基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗。“四基”之間緊密相連、相互促進。其中，數學思想是數學的精髓，是對數學基礎知識、數學方法的高度概括，潛藏在數學基礎知識、基本技能中，指導著數學實踐與應用活動。在小學數學教學中，必須重視數學思想的滲透，引導學生在熟練掌握數學知識和技能的基礎上領悟數學思想，掌握最為本質的數學關系。由于數學思想具有抽象性、隱含性，所以，必須使其逐步滲透在知識、方法、技能的教學中，特別是在方法的教學中。教師一定要注重引導學生概括、提煉、體驗、領會、重視“從方法中來，再到方法中去”。

一、數學思想的內涵

“數學思想是對數學知識本質的認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。”〔1〕數學思想是對數學事實、概念、方法等的規律性認識，是數學理論形成和發展的基礎，〔2〕具有極強的概括性、抽象性。數學思想滲透在數學知識、數學方法、數學技能之中。小學階段的數學思想主要有:化歸、類比、歸納、極限、對應、統計、假設等。這些思想往往隱藏在一些問題或方法背后，且有時一種問題或現象同時隱含了多種數學思想。

為了適應以“解決問題”為核心數學教育的改革趨勢，《標準》中明確把“解決問題”作為一個重要的課程目標。“解決問題”是一個復雜的分析和綜合過程，學生只有掌握化歸、類比、歸納等數學基本思想，才能發現并分析問題，從而找到最佳的“解決問題”策略，形成“解決問題”的方法和能力。

1?郾化歸。化歸是指將問題通過某種轉化過程，把未知問題歸結到一類已經解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題的解答。這是小學數學重要的、常用的解決問題思想之一，蘊含著發現、發明以及創造性的活動。

化歸的一般模式為:

化歸有較強的目的性、方向性和概括性，它的基本原則是由未知到已知、由難到易、由繁到簡，實現由所要解決的問題向已經解決的或較容易解決的問題轉化。

2?郾類比。法國數學家拉普拉斯指出:即使在數學里，發現真理的主要工具也是類比。〔3〕美籍匈牙利著名數學家波利亞也認為，類比在一切數學發現中起作用，而且在某些發現中起著最大的作用，它是數學活動中“偉大的引路人”。〔4〕數學上的類比是指根據兩個不同的數學對象在某些方面(如特征、屬性、關系等)的類同之處，猜測這兩個對象在其他方面也可能有類同之處，并做出某種判斷的思想。其基本模式為:

A具有性質 F1，F2，F3……Fn，P;

B具有性質 F1，F2，F3……Fn;

B具有性質 P

在數學上，類比是發現概念、方法、定理和公式，甚至是開拓新領域和創造新分支的重要手段。有些類比十分明顯、直接，比較簡單，比如，由加法交換律a+b=b+a的學習遷移到乘法交換律a×b=b×a的學習。而有些類比則比較復雜，需要建立在抽象分析的基礎上才能實現。

在小學數學“解決問題”中，類比有著相當廣泛的應用，具體過程正如波利亞所說的那樣:“選擇一個類似的、較容易的問題去解決它，以便它可以作為一個模式。然后利用這個剛剛建立起來的模式，獲得原來問題的解決。”〔5〕也就是在解決問題的過程中運用類比，關鍵在于找尋一個和原題相類似的模式，而這種模式的找尋往往著眼于相似以及相同的問題。

由類比得到的結論只是一種可能，它是否正確，還需經過證明，要提醒學生學會用實例進行檢驗，以提高判斷推理能力。

3?郾歸納。歸納是指通過對特殊情形的分析與總結，逐步引出普通結論的數學思想。和類比一樣，它在數學發現中也具有十分重要的作用。在科學認識活動中，歸納可以理解為用來概括由觀察和實驗獲得的事實，確立科學認識基礎的客觀性，從而探索出事物規律性的一個推理過程。也就是說，歸納常常是建立在有目的、有計劃的觀察和實驗基礎上的。

歸納分為完全歸納和不完全歸納。完全歸納是根據某類事物中每一個對象的情況，作出關于該類事物的一般性結論的推理;不完全歸納是根據某類事物中的一部分對象的情況，作出關于該類事物的一般性結論的推理;不完全歸納所得到的結論和所涉及的對象超出了前提所涉及的對象，因此，并沒有為結論提供充足的理由，不能保證結論是正確的。在小學數學教學中，限于學生的知識水平，很多結論只能運用不完全歸納得到。在具體教學中，可以引導學生通過對實例的觀察、分析，進行歸納，得出結論、原理或公式，從而使學生掌握不完全歸納的數學思想，培養學生的創造性思維能力。

二、滲透數學思想的策略

鑒于數學學科及數學思想的抽象性，以及兒童思維發展的階段性特點，小學階段數學教學中滲透數學思想一定要結合具體的現象、知識和方法。教師要通過備課、講授、課后作業等環節，在教學的全過程中注重數學思想的滲透。

1?郾在備課環節提煉數學思想。數學知識和數學思想是教材的兩條主線，知識的呈現結構比較清晰，或并列、或遞進，而數學思想則分散于各章節、“藏”在多個知識點之中。在備課環節，教師必須鉆研教材，除了將數學概念、方法等知識梳理出來，更要理清數學思想，將各知識點之間的關系用數學思想“統”起來。教師在提問設計、例題講解、解題訓練、知識點歸納等方面，都要注重數學思想的滲透。在課堂教學目標中明確列出要滲透哪些數學思想，這些數學思想又是蘊含于哪些數學方法之中，以及是如何呈現的。比如，利用分數、比例的基本性質進行運算時，算式可以變，但分數值和比值不變;在比例中，兩種相關聯的量一直在變化，但這兩種量中相對的兩個數的比值始終不變;推導圓的面積公式時，把圓剪成若干等分，可以拼成近似的長方形，圖形的形狀變了，但面積卻沒有變。學生在剛剛接觸新知時，往往對這些關系把握不準確，不能掌握關系背后的規律，更無法體會到轉化、對應等諸多的數學思想。因此，讓學生了解這些知識背后蘊含的數學思想應當成為教學的重點。

2?郾在課堂探究中體驗數學思想。鑒于數學思想的隱蔽性，在課堂教學中，必須把握概念形成過程、結論推導過程、方法歸納過程、思路探索過程、規律揭示過程。引導、啟發學生在觀察、動手操作、思考、分析、歸納的過程中，逐步透過表象體悟概念、方法背后的數學思想，只有這樣學生獲得的知識才是有意義的、可遷移的，所形成的知識結構才是完整的。相對于概念、算法等知識點的學習，數學思想的滲透需要一個較長的、循序漸進的過程，而且與學生的領悟接納能力聯系較大，不是簡單地依靠大量做題就可以習得的。因此，滲透數學思想必須緊密結合學生的已有經驗，讓學生在經過努力有能力進行的探索活動中體驗、領會相關的數學思想。比如，有位教師在“平行四邊形面積的計算”的授課中注重滲透轉化思想，引導學生在進行圖形剪拼的時候思考兩個問題:為什么要沿著高剪?剪后為什么要拼?學生通過動手實踐明白，平行四邊形經過這樣的剪拼后變成已經學過的長方形，進而找到計算平行四邊形面積的方法。

3?郾在練習中領悟數學思想。解題練習是必不可少的數學活動。一些學生能聽懂教師的講授，但遇到稍經變化的問題就找不到解題思路，其原因就是沒有真正掌握知識、技能，沒有將知識點內化，更沒有領悟知識點背后的思想與方法。所以，教師在課堂講授環節“點”出相應的數學思想后，需要在練習中留出空間，讓學生在變式練習中反復體驗、反思，達到領悟數學思想。學生在這一環節回顧發現問題、解決問題的來龍去脈和相關方法、技巧的適用條件以及關鍵點，有助于促進其內化所學知識，提高解決問題的能力。教師要引導學生養成反思、追問、總結的習慣，將零碎的知識經驗提升到思想的層次，促進知識的建構。教師還需鼓勵學生將自己內化的數學思想用文字語言或數學語言表達出來，以此加深學生對相關數學思想的理解與掌握。比如，對化歸思想的滲透，可以讓學生對函數問題、幾何問題、圖文轉化等進行比較、歸納，通過相應的練習驗證，從中體驗、鞏固化歸思想。

4?郾在實踐作業中運用數學思想。數學問題是在具體的社會實踐活動中產生的，數學學習必然要延伸到實際運用中。數學思想和方法又是融為一體的，學生在課堂上獲得數學知識和解決數學問題的方法后，必須學會靈活運用。教師可以布置開放性、綜合性的實踐作業，主要任務是讓學生將生活問題概括、抽象成數學模型、數學問題，再運用相應的數學思想和方法去解決。這一環節，也是學生將數學生活化、生活數學化的過程。對能力強的學生而言，實踐作業主要起到驗證、鞏固的作用。比如，可以讓學生動手制作各種形狀的紙盒、圖片，計算其表面積等;將體育課上賽跑等項目的成績，轉化為相遇或相交問題。

三、滲透數學思想應注意的方面

基于數學思想的重要性，在小學數學教學中滲透數學思想應注意以下一些問題。

1?郾關注“四基”的整體性。在小學階段，數學思想的教學以滲透為主，因此，數學思想的滲透應與基礎知識、基本技能、基本方法結合起來，不可割裂“四基”的關系。也只有在學生熟練掌握了基礎知識、解決問題的技巧和方法的基礎上，才可能領悟其思想，所以，教學中絕不可舍本逐末、主次顛倒。

2?郾必須由淺入深、循序漸進。小學數學思想的滲透是一個長期的過程，不可急于求成。對于那些超越了小學生理解能力的數學思想，只需“點”到為止，不需要生硬灌輸、強制訓練。隨著兒童思維的發展，在其以后的學習中會逐步領悟相關的數學思想。

3?郾處理好主導者的角色行為。在教學中滲透數學思想的實質是一種有意義的知識建構，是知識的內化和技能、方法的提升。雖然教師是課堂的主導者，但數學思想的掌握很大程度上要靠學生主體的領悟。只有學生親身體驗后所提煉的思想，才是有效的。一方面，教師在課堂上應注重思維的訓練，鼓勵學生多思考，調動其探索知識的主動性;另一方面，又要敢于放手，給學生提供盡可能多的思考、交流空間，充分發揮學生的潛能。

綜上所述，在小學階段有意識地向學生滲透一些基本的數學思想，是提高學生數學能力和思維品質的重要手段，是培養學生分析和解決問題能力的重要途徑。教師首先要深入教材，提煉數學思想，然后有意識地在教學中體現相關的方法，從教學目標的設定和教學過程的設計等環節逐步深入，引導學生揭示、運用、反思數學思想;要讓學生在練習及作業中運用數學思想，通過解決實際問題來鞏固、深化對數學思想的理解，實現思維的發展。

參考文獻:

〔1〕錢佩玲.數學思想方法與中學數學〔M〕.北京:北京師范大學出版社，2008.

〔2〕龍開奮.論數學思想方法在教學中的地位與作用〔J〕.教育理論與實踐，2009(8):60.

〔3〕〔4〕〔5〕G·波利亞，閻育書等譯.怎樣解題〔M〕.北京:科學出版社，1982.

〔6〕王晗寧.數學思想對教學的啟示〔J〕.現代商貿工業，2009(16):221.

作者單位

南京師范大學教育科學學院

◇責任編輯:曹文◇