在問題解決中滲透數學思想方法

數學思想是數學思維活動和數學研究活動中解決問題的基本觀點和根本想法;數學方法是學習和研究數學的手段和方式。可以說，數學思想方法是數學的靈魂，無論是數學概念的建立、數學規律的發現，還是數學問題的解決，都要運用到數學思想方法。如果將學生的數學素質看作一個直角坐標系，那么數學知識、技能就好比橫軸上的因素，而數學思想方法就是縱軸上的內容。淡化或忽略思想方法的教學，不僅不利于學生更好地掌握數學知識，也必將影響其能力的發展和數學素養的提高。因此，在解決數學問題中我們必須適時地向學生滲透一些數學思想方法。

1?郾轉化的思想方法。轉化是解決數學問題常用的思想方法。表現為在解決一個陌生的新問題或復雜問題時，要設法將其轉化為熟知的舊問題或簡單的問題(即化新為舊，化繁為簡，化難為易)，從而順利解決問題。

例如，“測量一個土豆的體積”。土豆是一個不規則的物體，沒有現成的體積計算公式，但可以轉化為長方體體積來測量。只要把土豆放入裝有水的長方體容器里，先量一量容器的長和寬，再量出水面升高的高度，然后用長方體體積等于這個土豆的體積。這樣轉化，就能順利解決問題。

2?郾枚舉的思想方法。有些問題涉及情況較多，用算式不容易表示，需要用一一列舉的方法，將所有可能出現的結果呈現出來加以比較，從而獲得符合條件的解答。

例如:“用一根長16cm的鐵絲彎成一個邊長是整厘米的面積最大的長方形，它的面積最大是多少?”解答這個問題需要思考:周長為16cm，長、寬為整厘米的長方形有哪幾種呢?哪個長方形的面積最大呢?這時只要列一個表，將各種可能出現的情況一一列舉出來，一個難解的問題就簡單化、直觀化了(如下表)。

比較4個長方形的面積，可知，長、寬都是4厘米的長方形面積最大，最大面積是16cm■。

3?郾假設的思想方法。假設思想是憑借創造性想象，將題中某個條件假定為與之相近的另一個條件，并從假定條件入手，分析數量關系。

例如:在一個面積的15平方分米的正方形內剪下一個最大的圓，這個最大圓的面積是多少平方分米?(如圖)

由于15是個非完全平方數，套用通過正方形面積求邊長進而求圓的半徑，再求圓面積的方法，小學生是無法求解的。只有運用假設的思想方法，假定正方形的邊長為“1”，則正方形的面積為1，圓面積為(■)2×3?郾14=■，也就是說，圓面積占正方形面積的■，所以，圓的面積應是15×■=11.775(平方分米)。假設思想方法將問題化繁為簡，在這里起到了“絕處逢生”的妙用。

4?郾整體的思想方法。整體思想方法，就是將幾個獨立的部分合并成一個整體來分析，可以避開許多細節問題的干擾，使我們很快抓住問題的核心，迅速獲解。我們平時解決數學問題，大多采取“化整為零”的辦法，一步一步地去突破。但有些數學問題如果分步去想，往往顯得特別困難，甚至“走不通”。怎么辦呢?這就需要我們學會整體分析。

例如:“張大爺用籬笆圍一塊梯形菜地，一面靠墻(如圖)，籬笆全長48米，這塊菜地的面積是多少平方米?”

按常規思路應分別算出梯形的上底、下底，再算梯形的面積。但按這一思路去解決問題，將會走進死胡同。我們不妨用整體思想方法進行分析:籬笆全長48米，實際上就是(上底+下底+高)=48米，根據高為15米這個已知條件，很容易得到(上底+下底)=48-15=33米，而梯形面積=(上底+下底)×高÷2。這時，如果將(上底+下底)看成一個整體，直接代入公式中，則梯形面積=33×15÷2=247.5(平方米)。

5?郾對應的思想方法。對應思想是解決問題需要具備的一種重要的數學思想，在一個問題中，眾多的數量之間必然存在著對應的關系，只要找到這種關系，就能找到解決問題的線索。

例如:“洗衣機廠門市部上午賣出3臺洗衣機，下午賣出5臺洗衣機。這樣，下午比上午多收貨款378元，每臺洗衣機售價多少元?”題中下午比上午多賣出洗衣機，下午就一定比上午多收到錢，這就是對應思想。多賣出的洗衣機和多收的款成對應關系，多賣出一臺多收一臺的錢，畫圖表示如下:

依照對應思想解決問題:多賣2臺應多收2臺的款，即378元所對應的是(5-3)臺洗衣機。所以每臺洗衣機的售價是:378÷(5-3)=189元。

6?郾歸納與演繹的思想方法。歸納法是通過對一些個別的、特殊的情況加以觀察、分析，從而導出一個一般性結論的推理方法，是一種從特殊到一般的推理方法;演繹法是根據某個帶有普遍性的結論，推求出個別、特殊的事物性質的推理方法，是一種從一般到特殊的推理方法。歸納和演繹是人們思維的重要形式，學習歸納法和演繹法有助于提高邏輯思維能力。

例如:“小船最初在南岸，從南岸駛向北岸，再從北岸駛回南岸，不斷往返，小船擺渡100次后，船在南岸還是北岸?”

要解決這一問題，首先要找到船擺渡的次數與所在位置的關系，可用不完全歸納法思考:

歸納:擺渡奇數次后，船在北岸;擺渡偶數次后，船在南岸。因為擺渡偶數次后，船在南岸，而100次是偶數次，所以小船擺渡100次后，船在南岸。

7?郾集合的思想方法。集合是指具有某種屬性的事物的全體，組成集合的每個事物稱為這個集合的元素。兩個集合中可以做加法運算，把兩個集合A、B合并在一起，就組成了一個新的集合C。計算集合C的元素的個數的思考方法主要是溶斥原理，即C=A+B-AB或AB=A+B-C。

例如:“五年級96名學生都訂了報刊，訂了《少年報》有的64人，訂了《小學生報》的有48人。兩種刊物都訂的有幾人?”

我們可以用集合表示，左邊的圈表示訂《小學生報》的48人，右邊的圈表示訂《少年報》的64人，中間重疊部分表示兩種報刊都訂的人數。顯然，兩種報刊都訂的人數被統計了兩次。64+48=112(人)，比總人數多112-96=16(人)，這16人就是兩種報刊都訂的人數。

8?郾分類的思想方法。有些數學問題，情況比較復雜，需要對各種情況加以分析，先逐類求解，然后綜合得解，這就是分類的思想方法。應用分類的思想方法要做到分類恰當，不重復、不遺漏。

例如:“下圖中共有幾個角?”

分析:為了保證不漏數而又不重復數，我們可以先分類來數角，然后把數得的各類角的個數相加。

(1)圖中共有4個小角。( )

(2)由兩個小角組合的角有3個。()

(3)由三個小角組合的角有2個。()

(4)由四個小角組成的角有1個。()

圖中共有4+3+2+1=10個三角形。

當然，在解決小學數學問題中，我們需要滲透的數學思想方法不止以上幾種，教師要根據各種數學問題的特點、知識間的內在聯系和小學生的年齡特征，適當給學生滲透一些數學思想方法，以培養他們學習數學的興趣，提高靈活解決問題的能力，全面提升學生的數學綜合素質。

作者單位

昆明市官渡區關上第一小學

◇責任編輯:曹文◇