基于B-S期權定價模型的可轉換債券定價實證分析

摘要:可轉換債券是一種混合金融衍生工具，它把相應的股票看漲期權內嵌在傳統的公司債券之中，具有債券和股票的雙重性質，因而可轉債的定價問題逐漸為企業和投資者所關注。本文借助Black-Scholes定價模型研究定價理論，對Black-Scholes定價模型進行修正，體現了紅利發放對可轉換債券定價的影響。

關鍵詞:可轉換債券;Black-Scholes模型;紅利;定價

Abstract:Convertible bond are a kind of hybrid financial instruments，including corresponding call option embedded in the traditional corporate bonds. The enterprises and investors gradually focuse on the problems of pricing on convertible bonds in China financial market..This paper explores the pricing theory of convertible bonds based upon the Black-Scholes model，amending the model in order to manifest the influence of adding the dividend factors.

Key Words:convertible bonds，black-scholes model，dividend，price

中圖分類號:F830.91 文獻標識碼:B文章編號:1674-2265(2010)03-0078-03

一、相關研究綜述

可轉債一方面是固定收益類證券，它具有確定的債券期限和利息率，投資人可以獲得固定利息收入;另一方面，可轉債的持有人有權利按照約定的條件將可轉債轉換為股票，通過行使轉換權，投資者可以充分分享發行人業績增長和股價增長的潛力。這種雙重性質使得可轉換債券在資本市場上有籌集資金和規避風險的雙重功能，這種優勢也使得可轉換債券在資本市場中有很大的發展。我國的可轉換債券市場處于起步階段，是資本市場的重要組成，為股票市場的運行提供穩定機制。

對可轉債的研究所涉及的最根本問題是對其定價的研究，由于可轉債首先是一種特殊的企業債券，可轉債的定價必須采用一種既能反映公司違約風險的暴露，又能描述來源于公司股票行為的上升的潛力的模型。首先考慮違約風險結構型模型。Merton(1974)是最早提出該模型的人之一，他假定只有債務到期時違約才會發生。后來的結構型模型放松了Merton(1974)模型中不切實際的假定，認為違約可以發生在債券生命期的任一時刻，并且在公司債務達到某個極限值時違約就會發生。但是，不可觀測的變量和復雜的資本結構一直限制了模型的實際應用。信用風險的現代可轉債理論從Ingersoll(1977)和Brennan及Schwartz(1977，1980)有關可轉債的定價開始，Ingersoll利用Merton(1974)，Black和Cox(1976)建立的用于風險債務估值的結構化方法的思想建立公司價值模型。他們的模型里由于公司價值是不可交換資產，因此它的參數估值很難確定，而且也沒有考慮利率的變化對可轉換債券的影響，即假定利率的期限結構是水平的，從這一點來說，他們的模型本質上是單因素模型。Brennan和Schwartz(1977)在單因素模型的基礎上將利率的不確定性引入到定價模型中，使用Vasicek利率模型提出了雙因素定價模型。考慮到可轉債虛實的不同會導致信用風險的不同，Tsiveriotis和Fernadez(1998)提出了一個將可轉債分解為兩部分的估價模型，這兩部分分別發生在債券最終成為股票的情形和債券最終成為負債的情形。他們指出由于不管票息和其他主要支付如何，可轉債發行者都可以交出他們的股票，所以股票部分并沒有信用風險;但是當發行者需要現金周轉時，信用風險就產生了。為更確切地描述，Tsiveriotis和Fernandes將可轉債兩部分分別定義為帶來信用風險的純現金部分和無信用風險的股票部分。

我國的研究主要集中在以下幾個方面:我國引進可轉換債的現實性、可能性;可轉換債券在我國發展的特殊性，因為我國開始選擇非上市公司發行可轉換債券，這與國際上上市公司發行可轉換債券不同;可轉換債券條款設計，投融資策略、投資價值分析以及相關的法律會計問題。至于對可轉換債券定價的研究還很滯后。如鄭小迎，陳金賢(1999)在詳細考察基礎變量利率和股票價格行為特征的基礎上，運用無套利原理推導出可轉換債券的雙因素定價模型;范辛亭，方兆本(2002)把利率看作一個隨機過程，發展了隨機利率條件下企業可轉換債券定價的離散方法。

二、可轉換債券定價模型的選擇與修正

本文運用Black-Scholes模型計算可轉換債券期權部分的價格，并且根據我國情況對模型加以修正，使其更符合我國可轉換債券的定價。

可轉換債券的價格由普通債券的價格與看漲期權的價格兩方面構成。其普通債券部分的價格等于投資者持有債券期間能夠獲得的現金流貼現值，用公式表示是:

其中 為普通債券價格; 表示為債券每年利息;

表示為債券本金; 為債券持有年限;為貼現率;

表示為從現在起至到期日剩余年限。

Black-Scholes模型具有以下假設:(1)股票價格服從幾何正態分布: ;其中、

為常數， 代表股票的收益率， 代表股票價格波動率，為維納過程;(2)證券允許賣空;(3)不考慮稅收和交易成本;(4)在期權存續期內，股票沒有分紅;(5)證券交易是連續的;(6)不存在無風險套利機會;(7)無風險收益率在期權存續期內是常數，及無風險利率具有水平的期限結構。

從Black-Scholes模型的假設條件我們可以看出，它是對基準資產沒有收益的歐式期權定價。Black-Scholes模型是對歐式期權的定價，我國投資者可能在可轉債到期之前行使可轉債賦予的選擇權，亦即可轉債所包含的可能是美式期權。但是，由于我國股票市場中股票價格的波動性較大，對于長期投資者來說，提前行使可轉債選擇權放棄了股票價格有可能進一步上漲的獲利機會，即放棄了買入期權的時間價值。故對我國的可轉債定價可以利用Black-Scholes買入期權模型。其定價模型如下:

其中:

股票期權為，無風險利率為，期權執行價格為，股票的市場價格為 ，股票波動率為 ，可轉換債券存續時間為 ，標準正態分布變量的累計概率分布函數為 。

對于我國而言，各轉換債券都會發放紅利，所以我國的可轉換債券可以看作是發放紅利的看漲期權，紅利的發放將導致標的股票價格的下降，因此對模型進行調整，形式如下:

其中:

為紅利收益率，經以上推導可得，可轉換債券的價值。

三、可轉換債券定價模型的參數估計

(一)波動率的確定

可轉換債券定價模型中一個非常重要的參數是股票價格波動率，因此對可轉換債券進行準確的價值分析還依賴于基礎股價波動率的合理估計。定義為第i個時間間隔(例如每天，每周或每月)末的股票價格， 為第i個時間間隔后的連續復利收益相對率的自然對數: ，根據下式可以得到股價日波動率的估計值:

其中，，計算出日波動率后，可以利用以下公式計算股票的年波動率。，其中 為每年的交易天數。

(二)無風險利率的確定

無風險利率是指投資者能夠按此利率進行無風險借貸的利率，由于期權定價模型是獨立于投資者的風險偏好，這樣就可以在風險中性的市場考慮問題，而在風險中性中的市場得出的結果應對所有風險偏好的市場都有效。所以無風險利率r是期權定價模型中一個重要的參數，這對可轉換債券的定價也同樣重要。有三種不同的方法確定無風險利率，一種觀點是用短期國債利率作為無風險利率;第二種觀點是利用利率期限結構中的遠期利率估計無風險利率;第三種觀點是用即期的長期國債利率作為無風險利率。本文采用第三種方法，即以長期國債利率作為無風險利率，并將其轉換成連續復利率。

四、實證分析及結論

我們采用市場上三個可轉債作為研究分析對象，數據選取時間截止為2009年1月5日，具體的可轉債樣本如表1所示。

(一)計算純債券部分的價格

由于本文所選取的可轉換債券平均為5年期的，所以我們在下面所采用的無風險利率 是與可轉債到期日相近的可交易國債利率，選取2.51%作為無風險利率。根據公式計算純債券部分理論價值如表2所示。

(二)計算期權部分的價格

利用Black-Scholes模型對期權部分的理論價格進行計算。其中，需要計算的兩個參數分別是無風險利率及股票價格波動率。由于模型中用到的無風險利率為連續復利率，于是將五年期國債年利率轉換為連續復利率，得到的無風險利率為: ，

對于股票價格波動率，在實證分析中取前一年的天數作為一年基本時間，取值247天，即可計算出可轉債所對應的股價波動率如表3所示。

本文利用改進后的Black-Scholes模型，選取近期所發紅利，得出相應的年紅利率，并將其轉換為連續復利率，求得期權理論價值如表4所示。

根據分析，為了求得可轉債的理論價值，只需將求得的可轉債債券部分的價值與期權部分的價值相加，并且與現值做比較，結果見表5。

從計算結果來看，修改后的模型更加合理，理論價值更加接近市場價值，但仍然存在差異，這說明以期權定價理論為基礎的理論估值并未得到市場認同。究其原因，主要在于:

1. 這段時間內，投資者可能出于避險的要求，投資于更加安全的債券產品。而可轉換債券不但能夠鎖定風險，而且具有巨大的盈利潛力，使得投資者對其顯示出偏好，從而造成了可轉換債券被過度高估。

2. 由于我國可轉債市場還只是在起步階段，各種條款所帶的期權價值非常小，投資者對這一產品還缺乏理性。我國可轉債市場條款設計得過于復雜，這一因素也使得不容易對可轉債進行定價，從而導致市場價格對理論價格的偏離。

參考文獻:

[1]Merton R，1974，On the Pricing of Corporate Debt，The Risk Structure of Interest Rates，Journal of Finance，Vol.29，No.2， pp.449-470.

[2]Ingersoll，1977，An Examination of CorporateCall Policies on Convertible Securities，Journal of Finance， Vol.32，No.2， pp.463- 478.

[3]鄭小迎，陳金賢.關于可轉換債券定價模型的研究[J].系統工程，1999，(3).

[4]范辛亭，方兆本.一種隨機利率條件下企業可轉換債券定價的離散時間方法[J].系統工程理論與實踐，2002，(8).

(特約編輯 張 勇)