在一題多解中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的廣闊性

[摘要]學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，離不開思維，數(shù)學(xué)中的各種內(nèi)在聯(lián)系和相互關(guān)系只有通過思維才能深刻理解，牢固掌握，本文立足于開闊不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性，文章通過對(duì)雞兔同籠這一經(jīng)典問題的研究， 向?qū)W生展示不同的思維過程， 讓不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到提高，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

[關(guān)鍵詞]一題多解；數(shù)學(xué)；思維

數(shù)學(xué)是一門技巧性的學(xué)科，最新的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出學(xué)生更需要掌握的是數(shù)學(xué)的一般思維方法和數(shù)學(xué)思想，這樣的改革要求在基礎(chǔ)教育中更加注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，同時(shí)為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。使不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都得到提高，一題多解在數(shù)學(xué)教學(xué)中就起到了十分重要的作用，一題多解可以向?qū)W生展示不同的思考過程，培養(yǎng)學(xué)生思維的開放性，促進(jìn)創(chuàng)新思維的發(fā)展，是數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的一環(huán)。

雞兔同籠問題，是我國古代著名趣題之一，早在《孫子算經(jīng)》中就有了記載：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問：雉兔各幾何7”意思是：有若干只雞和兔同在一個(gè)籠里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳，問：籠中各有幾只雞和兔?這個(gè)問題經(jīng)過人們多年的研究，發(fā)現(xiàn)了多種解法，下面就從中挑選比較典型的三種方法，以說明一題多解對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的鍛煉。

第一種解法：列表法，也叫“嘗試法”“窮舉法”，即根據(jù)題目要求按順序分類，列出所有數(shù)據(jù)組，試出答案，通過這種不斷列舉、嘗試、調(diào)整，最終是能解決問題的，列表法更為直接明了，同時(shí)能從中找到規(guī)律，這種方法是大部分學(xué)生都能掌握的，但列表法的缺點(diǎn)也很顯而易見，如果數(shù)據(jù)較大，那么我們的嘗試、窮舉也就越多，因此它并不具備普遍性，列表法可以更加直觀地幫助學(xué)生解決問題，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說是一種可以掌握的解決問題的策略。

第二種解法：假設(shè)法，假設(shè)法需要的邏輯思維水平較高，作為實(shí)用性較強(qiáng)的一種解題策略，對(duì)于有一定數(shù)學(xué)思維基礎(chǔ)的學(xué)生來說是可以掌握的，在上面的問題中，有雞和兔兩個(gè)未知量，它們地位同等且相互關(guān)聯(lián)，所以我們可以任意選擇一個(gè)進(jìn)行假設(shè)。

如果假設(shè)35只全是兔子，就會(huì)有140只腿，多出了46只，為什么會(huì)多46只腿?怎樣把多的這些去掉?成為假設(shè)法解決問題的關(guān)鍵之處。

為了解決這多出的46只腿，那么就需要把兔換成雞，怎么換?換的過程中要注意什么?是在教學(xué)中要重點(diǎn)講解的，首先。必須一一對(duì)應(yīng)，一只兔換一只雞，這樣才能保證總數(shù)不變，其次，每換一次，腿的數(shù)量就由4只變?yōu)?只，少了2只，那么減少46只腿要換多少次呢?用除法就可以解決了。

假設(shè)法最后需要強(qiáng)調(diào)的是求出的23和12。誰是雞的只數(shù)，誰是兔的只數(shù)。這需要學(xué)生充分理解剛剛是如何將兔換成雞的，換的過程中數(shù)量是如何變化的。

用假設(shè)法解題首先需要假設(shè)題中的情節(jié)發(fā)生了變化，然后在假設(shè)的基礎(chǔ)上推理，調(diào)整由于假設(shè)而引起的數(shù)量變化，假設(shè)法是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，有著廣泛的應(yīng)用，假設(shè)法能使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系明朗化、簡單化，從而幫助我們解決問題，假設(shè)法對(duì)邏輯思維能力要求較高，理解上有一定難度，但實(shí)用性較強(qiáng)，可以對(duì)有一定數(shù)學(xué)能力的學(xué)生作出要求。

第三種解法：方程法，方程是代數(shù)思維最直觀的體現(xiàn)，也是學(xué)生進(jìn)入初中以后會(huì)重點(diǎn)學(xué)習(xí)的一種思維方法。在小學(xué)階段，部分學(xué)生可以列出方程，但難以解出方程，限制了學(xué)生用方程解決問題，不過，方程作為一種重要的思維方法，也可以適當(dāng)介紹給學(xué)生，拓展學(xué)生解題思路。

用方程解決該問題有兩點(diǎn)需要注意。第一，設(shè)哪一個(gè)量為未知數(shù)，由于兩個(gè)未知量相互關(guān)聯(lián)，所以設(shè)兔子和雞都可以。第二就是解方程，這也是用方程解決問題最困難的地方，對(duì)小學(xué)生來說需要一定的代數(shù)思維能力才能解決，尤其是展開2(35一，)這樣的式子時(shí)，雖然學(xué)生學(xué)習(xí)過了乘法分配律，但總會(huì)有部分學(xué)生只將2乘35，而不乘x但是方程思路簡單，且具有一般性，可以為學(xué)生解決其他問題帶去方法。

以上三種方法各有優(yōu)劣，列表法通過逐一列舉、實(shí)驗(yàn)、調(diào)整，最后得到答案，非常直觀，便于觀察，容易理解，是一種樸素的思想方法，也是非常實(shí)用的解決問題的策略，是學(xué)生由形象思維過渡到抽象思維的一座橋梁，但受到數(shù)據(jù)大小的限制，不能廣泛用之，假設(shè)法在推理時(shí)會(huì)導(dǎo)致思路不清，容易出錯(cuò)，這也為學(xué)生學(xué)習(xí)、使用這種方法設(shè)置了障礙，所以在假設(shè)時(shí)要使題意明朗化、簡單化，要按照題目中的已知條件進(jìn)行推算，把假設(shè)的結(jié)果加以調(diào)整，直到符合題目條件，得到正確答案，此種方法使用范圍更廣，更加具有一般性，在教學(xué)時(shí)教師需及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生寫好推導(dǎo)過程，避免問題出現(xiàn)，方程的思想是將題目中的信息“翻譯”成代數(shù)語言，需要學(xué)生根據(jù)題中的已知條件和未知數(shù)之間的關(guān)系，建立一個(gè)等式，通過這個(gè)等式算出答案，方程思路比較簡單，具有一般性。而且小學(xué)高年級(jí)的學(xué)生已有了一些方程的基礎(chǔ)知識(shí)，所以這個(gè)方法能理解的學(xué)生也有一些。但這方面的知識(shí)，小學(xué)生掌握的并不多，運(yùn)用起來也不熟練，所以使用的學(xué)生并不多。

雞兔同籠問題很好地詮釋了一題多解給學(xué)生思維帶來的廣闊性，在不同的解法中蘊(yùn)含了不同的數(shù)學(xué)思想，甚至在同一種方法中也包含了不同的數(shù)學(xué)思想，通過這一典型例題可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)到這三種不同的方法，通過對(duì)這三種方法的比較，可以讓學(xué)生掌握解題的一般步驟，熟悉解題技巧，更重要的是可以讓不同層次的學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到提高，而不僅僅是針對(duì)個(gè)別優(yōu)秀學(xué)生。

三種方法反映了三種不同的數(shù)學(xué)思維，從這一典型例題的學(xué)習(xí)中，可以很好的幫助學(xué)生從多個(gè)角度觀察、思考、概括，并獲得多種解題途徑，一題多解在一定程度上不僅開闊了學(xué)生的視野，也開闊了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，開發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣有很大的幫助。