液體表面積趨于最小的探討

摘要:介紹液體表面張力的形成原因及性質(zhì)時(shí)，教師通常用金屬絲做成的立方體框架浸入肥皂液再取出，讓學(xué)生觀察肥皂膜形成的幾何形狀，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛。本文從能量、微觀、力學(xué)三個(gè)角度分別闡述液體表面張力形成原因及性質(zhì)，并用極值法求出中間正方形薄膜的邊長。

關(guān)鍵詞:液體;表面張力;肥皂膜;內(nèi)力;表面張力系數(shù)

中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1003-6148(2010)2(S)-0055-3

在人教版選修3-3第九章第二節(jié)《液體》中介紹液體表面張力的形成原因及性質(zhì)時(shí)，教師往往會(huì)用金屬絲做成的立方體框架浸入肥皂液再取出，框上的肥皂膜總是最后變成如圖1所示的幾何形狀。

學(xué)生可能會(huì)有疑問:為何最后總是變成如圖1所示的幾何形狀?中間那塊正方形薄膜的邊長究竟是多少?

要回答上面兩個(gè)問題，首先得了解液體表面張力形成原因及液體表面積趨于最小的性質(zhì)。我們可以從能量、微觀、力學(xué)三個(gè)不同角度闡述。

1 從能量角度

液體與自己的蒸氣或另一種介質(zhì)(包括盛液體的容器壁)接觸的交界面稱為液體的表面。在液體表面附近一薄層內(nèi)的分子，其情況與液體內(nèi)部的分子的情況不同，因而產(chǎn)生一系列特殊的現(xiàn)象，統(tǒng)稱表面現(xiàn)象。

實(shí)驗(yàn)表明，液體與氣體相接觸處的表面，猶如一張緊的有彈性的薄膜，有收縮的趨勢。例如，一根縫衣的小鋼針，雖然它的密度約為水的密度的10倍，但若輕輕地把它放在水面上，它將把水面壓成一條小溝槽而不下沉，這表明液體表面像一張緊的彈性膜，也就是說表面一定存在著一種張力，稱作表面張力(surface tension)。表面張力是液體表面的內(nèi)力，通常把液面與固體周界之間相互作用的拉力也叫表面張力。若在液體表面上想象畫一根線，則該線兩側(cè)的液面相互存在著拉力的作用(如圖2所示)。因?yàn)檫@種力跟粘附在固體周界上的液體表面與相鄰液面之間的內(nèi)力在數(shù)值上是相等的，用式子表示為F=σl，其中l(wèi)為液面的周界(或截線)長度，σ稱為表面張力系數(shù)，其數(shù)值等于液面上作用在每個(gè)單位長度截線(或周界)上的表面張力。

由于液面有自動(dòng)收縮的趨勢，所以增大液體表面需要克服表面張力做功。如圖3所示，保持液膜面積不變需加外力。設(shè)使AB邊向右移動(dòng)距離Δx，則此過程中克服表面張力所做的功為:

ΔW=F外Δx=2FΔx

=2σ#8226;AB#8226;Δx=σ#8226;Δx

式中Δs表示AB邊移動(dòng)Δx時(shí)液膜的兩個(gè)表面所增加的總面積，在等溫過程的條件下，這個(gè)功轉(zhuǎn)變?yōu)橐后w表面能的增量ΔE，所以可以得出:σ=ΔE/Δs。

此式表示:表面張力系數(shù)σ在數(shù)值上等于在等溫條件下液體表面增加單位面積時(shí)所增加的表面能。理論和實(shí)驗(yàn)事實(shí)表明，在等溫條件下，體積一定的液體的平衡態(tài)對(duì)應(yīng)于表面自由能取極小值。而由Δs和ΔE的正比關(guān)系可知，這也對(duì)應(yīng)于表面積取最小值，由此可以說明液體表面為何有收縮的趨勢。此外，我們知道體積一定的物質(zhì)取球形表面積最小，由此可以解釋為什么液滴的形狀都接近球形。例如荷葉上滾動(dòng)的水珠，從勺中流出的蜂蜜細(xì)流在斷開時(shí)下部形成球形，將破碎玻璃鋒利的邊緣用火焰燒軟再冷卻后，邊緣呈平滑狀等等，都是這一類實(shí)例。

2 從微觀角度

從微觀角度看來，液體表面并不是一個(gè)真正的幾何面，而是一個(gè)厚度為分子力有效作用距離(數(shù)量級(jí)為10-9m)的薄層，稱為表面層。考慮表面層中任意一個(gè)分子B，若以B為圓心，以分子力有效作用距離為半徑作一分子力作用球，則此球有一部分落在液體之外(見圖4)，因而表面層內(nèi)的分子與液體內(nèi)部的分子相比缺少一些能吸引它的分子，使得引力所引起的勢能的絕對(duì)值小一些。但引力勢能是負(fù)值，所以液體分子處于表面層中的勢能比在液體內(nèi)部的勢能高。表面積越大的液面，表面層中的分子數(shù)越多，表面總勢能越高。但系統(tǒng)的能量總是越小越穩(wěn)定，因此液體表面積趨向縮小。而液體又極不易壓縮，體積是一定的，于是表面縮小的趨勢使液面呈張緊狀態(tài)而出現(xiàn)表面張力。

以上分析中沒有提到分子間的斥力，這是因?yàn)槌饬τ行ё饔镁嚯x比引力更短，只有在分子周圍緊鄰的分子才對(duì)它有斥力作用，這就使表面層內(nèi)分子受斥力的情況與液體內(nèi)部情況基本相同。

3 從力學(xué)角度

在了解了液體表面形成原因及體積一定時(shí)液體表面積趨向最小的性質(zhì)后，我們不妨回到圖1來求出中間正方形薄膜的邊長的最小值。

如圖5:設(shè)立方體的邊長為a，中間正方形薄膜的最小邊長為b，薄膜的表面積為s，成梯形薄膜的高為h。由于對(duì)稱性成梯形狀八塊薄膜面積一樣(忽略薄膜的厚度)。