高等數學概念教學的探討

高等數學概念是高等數學知識體系的基礎和核心，是高等數學思維的細胞與根基，正確理解概念是學好高等數學的基礎，學生學習高等數學之所以感到特別難，概念模糊不清往往是最直接的原因，特別是數學基礎差的學生，其關鍵是在對數學概念的理解、應用和轉化等方面差，因此，抓好高等數學概念教學是提高數學教學質量的突破口。

一、高等數學概念的特點

初等數學基本上是描述事物相對靜止、相對穩定的狀態，而高等數學研究的基本對象是“函數”，高等數學中最基本、最重要的概念是“極限”，最基本的方法是“極限方法”，因而，高等數學是變量數學，它主要研究運動，研究無限過程，研究多因素的作用，從觀點到方法都和初等數學有著質的差異，與初等數學的概念相比，高等數學的概念基本上都是以運動的面貌出現的。是動態的產物，正如恩格斯所描述的“運動進入了數學，辯證法進入了數學”，了解高等數學概念的特點為我們引導學生由初等數學的思維模式進入高等數學的思維模式，并為其中部分學生日后學習現代數學工作好準備是有指導意義的，因而，我們在教學中要結合學生的實際情況研究高等數學概念的認知過程特點，結合學生的認知能力發展的規律來選擇適當的教學形式，從而提高高等數學的教學質量。

二、采用多種方式。引入數學概念

俗話說“良好的開端是成功的一半”，高等數學概念教學中，如何合理引入概念是非常重要的，因為高等數學概念具有高度抽象性的特點，新概念的引人要從學生的實際情況出發，根據數學概念形成和發展的過程，聯系實際，應用數學教具，使學生覺得概念引入順其自然，生動直觀，易于理解，為概念教學創造良好開端。

1 介紹數學發展史，引人數學概念

“數學史，也就是數學的脈絡，只有掌握了數學的脈絡，才能從實質上把握數學，”有效應用數學史料，一方面讓學生了解概念產生、發展、完善的過程，這樣不僅有助于深化學生對這一重要概念本質的理解，而且有助于激發學生的學習興趣和求知欲。

例如，在引入極限概念時，先介紹莊子的名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”、劉徽的割圓術以及古希臘人的窮竭法，讓學生通過經典實例體會到它們都蘊含了“極限”思想，然后引導學生分析這些事物中的共同屬性：在客觀事物中有這么一類變量，它們在無限變化的過程中逐漸趨近于一個穩定狀態，即趨近于某一個常量，每一個這種過程都稱為極限過程，相應的常量稱為變量的極限，這樣再引入極限的概念便會順理成章、水到渠成。

2 數形結合，引人數學概念

從人的思維的一般發展規律看，是先有形象思維，后有抽象思維，這兩種思維類型不能絕對分開，抽象思維的形成往往需要具體形象的支持才能順利進行，高等數學雖然具有高度的抽象性，但是，高等數學是在代數法與幾何法密切結合的基礎上發展起來的，一般說來，其概念具有幾何直觀的優勢，若借助形象的幾何圖形引導和啟發學生觀察、分析，使學生看到數學概念的來龍去脈，體驗數學概念的形成過程，逐步由特殊上升到一般，由具體過渡到抽象，這將有助于學生理解抽象概念。

例如，在講授函數間斷點時，先畫出三種不連續的函數圖形，讓學生去觀察，分析不連續的原因，再歸納出間斷點的定義，同樣講解函數的單調性、凹凸性及函數的極值等概念時，若采用幾何圖形的方式，讓學生通過對圖形的觀察、分析和歸納，再引入概念，效果會很好。

3 新舊聯系，利用類比法，引人數學概念

高等數學概念之間的連貫性都很強，因此講授新概念之前可以從復習舊概念著手，采用對比的方法講解概念，并著重搞清楚新舊概念的聯系與區別，這樣新舊知識有機地聯系起來，使學生在學習中能收到溫故知新的效果，如講二重積分之前，先復習定積分的概念，并著重突出定積分作為“積分和極限”這個基本概念，以及“化非均勻問題為均勻問題”的處理方法，同樣被用來探討二重積分的概念，然后提出幾何上和物理上的實例，經過分析引出二重積分的概念，并指出定積分和二重積分的共性，實質上都是求“和式的極限”。

在高等數學中，運用“類比”聯系來“由舊引新”的內容較多，如數列的極限與函數的極限的對比、微商與偏微商的對比等，把新舊知識聯系起來講，有利于加深對知識的理解和記憶，加強掌握知識的系統性，使學生循序漸進地將基本知識學到手，實現知識的“正遷移”。

4 通過分析實例，歸納數學概念

高等數學中有許多概念屬于構造型的，這些概念敘述都過長，不好掌握，因此講授這類概念時，可通過分析實例。從中歸納概念的本質特點，形成數學概念，例如在講授定積分概念時，借助幾何圖形對兩個實例：曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程進行分析，歸納出這兩個實例的共同特點：分割、取近似、求和、取極限，從而歸納、抽象出定積分的概念；再如在講授導數概念時，先討論兩個實際問題：自由落體運動的速度問題和曲線的切線問題，抓住它們在數量關系上的共性，從而得出函數導數的概念，通過實例分析、歸納、抽象概念，可以幫助學生掌握概念的本質，形成數學直覺，且能夠培養學生的創造性思維。

三、揭示概念的本質，準確理解概念

高等數學概念教學的本質是使學生準確地掌握概念，并利用所學的概念解決數學問題和實際問題，而在高等數學概念的教學中引入概念，只是概念教學的第一步，然而。就正確的認識而言，更為重要的是透過概念的形式表述揭示出概念內在的本質，這也是概念教學的關鍵所在。

1 充分揭示概念本身的實質，使學生確切地理解所講概念的含義

例如，在講授函數y=f(x)在點x處連續的定義時，書上一般都給出了三種不同形式的定義，教師應該指出，這三種形式的定義的實質都表達了函數f(x)在點x處連續性態，只是敘述方式不同，它們都揭示了在點x處自變量增量趨于零時，對應的函數值的增量同時趨向于零的這一實質，它們在應用上的特點是：limf(x)=f(x0)形式的定義往往用于具體函數連續性的判斷；而其余兩種形式的定義常用于證明題或驗證計算結果，這樣，通過教師揭示概念的本質及不同定義形式的作用，使學生對概念的認識得以深化與提高。

2 明確概念的內涵和外延以建立完整的概念體系

數學教學中，充分揭示概念的內涵和外延有助于加深對概念的理解，如講導數定義時，學生雖能背誦定義，但由于對其本質屬性理解不夠準確，計算常出錯誤，教學時要特別講清：函數在某一點處的導數描述的是函數增量與自變量增量的比值，當自變量趨于零時的極限，即函數在該點處的變化率，它反映了函數相對于自變量的變化快慢的程度，教學時也應適時引導學生跳出狹義的圈子，使學生認識到，導數與現實有著一般和特殊的關系，導數作為抽象思維的產物具有更為普遍的意義，它所反映的已不是某一特定事物或現象的量性特征，而是一類事物或現象在量的方面的共同特征，除瞬時速度、電流強度、線密度外，它還可以表示瞬時加速度、切線斜率等，而它的本質是變化率，這樣就使學生對導數概念有了完整而全面的掌握，再如在講授無窮小的概念時，應強調指明自變量的變化趨勢，當z→2時，x²-4是無窮小量，當x→l時x²－4就不是尤窮小量，同時應強調無窮小有它自己的特征，即無窮小量的極限為零，這就是無窮量小區別于其他函數的特征學生掌握了無窮小量的內涵與外延，就容易判斷在一定條件下，某函數是不是無窮小量。

四、通過總結和解題，不斷復習和鞏固概念

在講完每一單元的內容后，要及時對已學知識內容進行總結，概念是基本的內容，要在總結時聯系各概念的關系，找出區別和聯系，由于總結時內容較多，因而需要高度概括，使內容簡明扼要，條理分明，便于學生記憶，通過總結，促使學生學習的知識系統化、條理化，而不支離破碎

數學中的概念需要經常復習和應用，對于容易出錯的數學概念，必須通過解題和反復運用，才能使學生對所學概念得以鞏固和加深，同時能培養和提高學生運用概念分析問題、解決問題的能力，對于學生在解題中產生的錯誤，教師在習題課上要及時加以剖析，指出學生在認識概念上的錯誤，為此，應有針對性地選編一部分是非選擇題讓學生練習，盡快地把概念搞清，以免影響新概念的學習。

總之，高等數學概念的教學是一個動態過程，是一種創造性的活動，這就要求數學教師要認真研究數學教材和學生，用心實踐，不斷積累，要真正弄清楚所教概念的內涵、外延和背景，教師應該在以學生為主體、以啟發式為原則、以簡易性為目標的前提下，使用不同的方式從事高等數學概念的教學活動。從而啟發學生的思維，開發學生的認知能力，進而培養學生的會學數學的能力，只有這樣才能達到高等數學的教學目的。