構造代數模型證明不等式

摘要數學教學的核心任務是培養學生的思維能力，不等式的證明是培養思維能力的一個重要內容。本文探討了用構造思想構造代數模型來證明不等式，并用實例闡釋了所述構造法。既能達到簡化證明的目的，又能培養學生思維能力。

關鍵詞構造法 不等式 代數模型

中圖分類號:O187文獻標識碼:A

1 構造不等式證明不等式

根據題設條件，構造相應的不等式，如構造熟悉的不等式和基本不等式，再利用所構造的不等式的有關的性質。

例1 證明貝努利不等式:(1+x)2>1+nx，其中x>1，且n∈Q.

[分析]:∵x>0，n>1，∴1+x>0，根據條件，將結論稍加變換，構造出均值不等式，即可簡單地進行證明。令n=p/q (p>q，且q，p∈N)，則結論可化為:(1+x) p/q>1+nx，即1+x>(1+nx) q/p而(1+nx)q/p= <== =1+x ， ∴原不等式成立。

例2 設|a|，|b|，|c|均小于1，求證:ab+bc+ca>-1

[分析]:中條件|a|<1，可構造不等式1+a>0，同理構造1+b>0，1+c>0于是得(1+a)(1+b)(1+c)>0①，同理得:(1-a)(1-b)(1-c)>0②，將①式展開:1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc>0③，將②式展開:1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc>0 ④ ，將③式+④式:2+2(ab+bc+ca)>0 此即:ab+bc+ca> -1。

2 構造函數證明不等式

根據所給不等式的特征，構造恰當的初等函數，以此作為映射關系，然后利用函數的奇偶性、單調性等性質來證明不等式。

例1 已知x > 0，求證x+ +≥

[分析]:構造函數f(x)=x+ (x>0)則x+ ≥2， 設2≤< ，

由f()-f()= +-(+ ) = (-)+(-) =

顯然∵2≤< ∴- > 0，-1 > 0， > 0∴上式 > 0

∴f (x)在[2，+∞)上單調遞增，∴左邊≥f(2)=

例2 求證: y=≥

[分析]:設t= (t≥3) 則f(t)=y= ，用定義法可證:f (t)在[3，+∞)上單調遞增，令:3≤t1 0

∴y =≥f(3) ==

例3 已知a，b，c∈R，求證:≥()2

[分析]:構造函數f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2=3x2-2(a+b+c)x+ a2+ b2+c2

∵f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2≥0， ∴△=4(a+b+c)2-4€?(a2+ b2+c2≤0

將上式整理即得:≥()2

例4 已知a，b為實數，并且eba

[分析]:當eba，只須證blna>alnb，即證>，構造函數y=(x>e)，求導得y′= ，因為x>e，lnx>1，所以y′<0，從而函數y=在(e，+∞)上是減函數，因為e得證，即ab>ba得證。

3 構造方程模型證明不等式

根據問題所給條件特征，利用方程的思想，構造方程解決問題。

例1 已知實數a， b， c，滿足a + b + c = 0和abc = 2，求證:a， b， c中至少有一個不小于2。

[分析]:由題設:顯然a， b， c中必有一個正數，不妨設a > 0，則， 即b， c是二次方程x2+ax+=0的兩個實根。∴△=a2-≥0 ，即:a≥2

例2 求證:≤≤3(≠k+，k∈Z)

[分析]:設y= 則:(y -1)tan2 + (y + 1)tan + (y - 1) = 0

當 y = 1時，命題顯然成立，

當 y ≠ 1時，△= (y + 1)2 -4(y - 1)2 = (3y - 1)(y - 3)≥0

∴≤y≤3

綜上所述，原式成立。(此法也稱判別式法)

例3 實數x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設s= x2+y2求證:≤s≤

[分析]:把x2+y2= s代入4x2-5xy+4y2=5，可得x2y2=(s-1)2， 由兩數之和與兩數之積聯想到韋達定理，可構造以和為根的一元二次方程.t2-st+(s-1)2=0

∵△=s2-4(s-1)2≥0，故≤s≤

例4 已知p3+q3=2;p，q∈R，求證:p+q=2

[分析]:設p+q=t，由條件可知(p+q)( p2+q2-pq)=2，所以pq=t2-

構造方程:x2-tx+t2-=0，則p，q是此方程的兩實根。

所以△=t2-4(t2-)≥0，解得t≤0，即p+q≤2。

4 構造數列證明不等式

從要證的不等式分析，若它與數列有關，那么就可以考慮轉化為運用構造數列的方法。

例1若n∈N，求證:(1+1)·(1+)·(1+)…(1+)≥

[分析]:構造數列{bn}，使得b1·b2…bn=，則得bn= = ，只須證:1+>，即證()3>，因為3n-2>0，也就是證(3n-1)3>(3n-2)2(3n+1)，即證:27n3-27n2+9n->27n3-27n2+4，也即證:9n>5，顯然對此式成立。故(1+1)·(1+)·(1+)…(1+)≥

例2 證明不等式<++…+<(*)對所有正整數n成立。

[分析]:++…+是一個與n相關的量，將它與(*)式左、右兩端作差，構造出相應的數列，則可利數列的單調性業解決問題。設an=++…+(n∈N)一方面，構造數列{xn}，令xn=an-，則xn+1-xn=an+1-an-+，所以xn+1>xn， {xn}為單調遞增數列，首項x1=-1為最小項，所以xn>x1=-1>0，即an>

另一方面構造數列{yn}.令yn=an+，則yn+1-yn=an+1-an+-。所以 yn+1>yn，{yn}為單調遞減數列 ，首項y1=-2為最小項，所以yn

5 構造對偶式模型證明不等式

根據不等式條件、特點，有一些不等式是對偶式出現的，則構造對偶式，構造對偶式的關鍵在于抓住已知條件，利用和與差互為倒數、倒序、錯位等特征進行巧妙的構造，利用對偶式的特征和性質證明不等式。

例1 已知x，y，z∈R+，求證:++≥0

例2 [分析]:構造對偶式，設A = ++，

B = ++，

A-B=(-)+(-)+(-)

=+ + ≥0

∴(AB)+(A-B)=2A≥0，∴A≥0，故原不等式成立。

6 構造復數模型證明不等式

根據所證不等式的式子與復數的聯系，通過構造復數，利用復數的有關性質和運算法則來解決。

例1 已知a，b∈R+且a+b=1，

求證:(1+)(1+)>5

[分析]:構造復數，設z1=1+i，z2=1+i，

則(1+)(1+)= |z1|2|z2|2=|z1·z2|2=1，

()+ (-)i≥(1+)2≥[1+]2=(1+)2=3+2>5，故有(1+)(1+)>5

通過上述不等式的證明，可以發現，只要我們能從題目的條件和所要證明的不等式的整體關系中，把握其本質，就可以把不等式變形，構造出具有一定結構特征的函數、數列、復數、方程、對偶式、不等式等某個代數模型，并將所要證的不等式問題轉化為研究該代數模型的特征，從而達到促進轉化，簡化證明的目的，構造法的關鍵是尋找一個促進問題轉化和解決的輔助模型。利用構造思想方法，不是直接解決原問題，而是構造一個與原問題有關或等價的新問題，其特點是“構造”，怎樣“構造”?沒有通用的方法、固定的模式，所構造的輔助模型是多種多樣的。

參考文獻

[1]齊如意.巧用構造法證明不等式[J].數學通報，2004(1).

[2]張建.淺談構造法證明不等式[J].數學通報，2004(12).